|
Geçmişten Günümüze Geometri Öğretimi ve öklid geometrilerinin öğretimdeki yeri ve önemi |
|
|
|
Sayfa 7 / 9
EK-2:ÖKLÄ°DYEN DÜZLEM AKSÄ°YOMLARININ
D.Hilbert TARAFINDAN YENÄ°DEN DÜZENLENMİŞİ
I - KONUM (Connection or Incidence) AKSÄ°YOMLARI
[1] Birbirinden farklı iki nokta üzerinde en az bir doÄŸru vardır. (Farklı iki noktadan en az bir doÄŸru geçer).
[2] Birbirinden farklı iki nokta üzerinde en çok bir doÄŸru vardır. (Farklı iki noktadan en çok bir doÄŸru geçer).
[3] Her doÄŸru üzerinde en az iki nokta, ve dışında en az bir nokta vardır.
II - ARA (Order) AKSÄ°YOMLARI
[APB], P noktasının A ile B arasında olduÄŸunu göstermek üzere:
[1] [APB] ise A, P, B noktaları farklı olup doğrudaştır ve [BPA] dır.
[2] Farklı ve doÄŸrudaÅŸ olan üç noktadan ancak birisi öteki ikisi arasındadır.
[3] A ve B bir l doÄŸrusu üzerinde farklı iki nokta ise, l üzerinde [ABP] olacak biçimde en az bir P noktası vardır.
[4] (PASCH aksiyomu) A, B, C doÄŸrudaÅŸ olmayan üç nokta ise ve ABC düzleminin, A, B, C nin hiçbirinden geçmeyen bir l doÄŸrusu (BC), (CA), (AB) açık doÄŸru parçalarından birini keserse, öteki ikisinden bir tekini de keser.
III - EÅžLÄ°K (Congruence) AKSÄ°YOMLARI
[1] [AB] bir doÄŸru parçası, ve [A´P herhangi bir ışın ise, bir ucu A´ de, öteki ucu ışın üzerinde olan ve [AB] ye eÅŸ bulunan bir tek [A´B´] doÄŸru parçası vardır.
[2] DoÄŸru parçaları için eÅŸlik bağıntısı geçiÅŸkendir, yani
.
[3] [APB] ve [A´P´B´] için
.
[pq], p ve q ışınlarının oluÅŸturduÄŸu açıyı;
[prq], [pq] açısının bir iç noktası R iken r = [OR ışınının p ile q nun arasında kaldığını;
[lP, düzlemde l doÄŸrusu ile birlikte, l nin dışındaki P noktasını üzerinde bulunduran yarı düzlemi (düzlem-ışın) göstermek üzere:
[4] [hk] bir açı, ve [lP hrhangi bir kenarı l üzerinde, öteki kenarı düzlem-ışın üzerinde olan ve [hk] ye eÅŸ bulunan bir tek [h´k´] açısı vardır.
[5] Açılar için eÅŸlik bağıntısı geçiÅŸkendir, yani
.
[6] [hrk], [h´r´k´] için
Üçgenlerde eÅŸliÄŸin KAK tanımı: Aralarında gibi bir eÅŸleme kurulmuÅŸ olan iki üçgende karşılıklı ikiÅŸer kenar birbirine eÅŸ ise ve ayrıca bu kenarlar arasındaki açılar da eÅŸ ise bu iki üçgene eÅŸ üçgenler denir.
[7] Birbirine eÅŸ olan iki üçgende karşılıklı taban açıları eÅŸtir.
IV - ÖKLÄ°D PARALELLÄ°K (Parallel) AKSÄ°YOMU
BaÅŸka iki doÄŸruyu kesen bir doÄŸru, bu iki doÄŸru ile aynı tarafta, toplamları den küçük açılar oluÅŸturursa, iki doÄŸru bu açıların bulunduÄŸu tarafta kesiÅŸirler.
V - SÜREKLÄ°LÄ°K (Continuity) AKSÄ°YOMLARI
[1] (ARCHIMEDES veya CANTOR aksiyomu) bir l doÄŸrusu üzerinde içiçe doÄŸru parçaları ise, l üzerinde, kendisine göre, bütün ler aynı tarafta ve bütün ler ters tarafta olacak biçimde bir P noktası vardır.
[2] (Tamlık Aksiyomu) Nokta, doÄŸru (ve düzlemlerin) oluÅŸturduÄŸu sisteme, bu beÅŸ grup aksiyomun hepsine uyan yeni bir geometri oluÅŸturacak ÅŸekilde baÅŸka elemanlar eklemek mümkün deÄŸildir. BaÅŸka bir deyimle, geometrinin elemanları, beÅŸ aksiyom grubu saÄŸlandığı sürece, ÅŸüphe kabul etmeyen bir sistem oluÅŸturur.
KAYNAKLAR
1- David Hilbert, Foundations of Geometry, Open Court Pub. C., 1950.
2- Hüseyin Demir, Öklid Geometrisi, ODTÜ, 1987.
|
EÄŸitim makaleleri 
