|
Geçmişten Günümüze Geometri Öğretimi ve öklid geometrilerinin öğretimdeki yeri ve önemi |
|
|
|
Sayfa 8 / 9
EK-3: ÖKLÄ°DYEN DÜZLEM GEOMETERÄ° AKSÄ°YOMLARI
(METRÄ°K YAKLAÅžIM)
"Öklidyen düzlem geometri";
- P; noktalar kümesi,
- L; P nin alt kümelerinin bir ailesi olan doÄŸrular,
- m; açı ölçme fonksiyonu,
- ; uzaklık fonksiyonu,
olmak üzere aÅŸağıda verilen onüç aksiyomu saÄŸlayan [P,L, ,m] matematiksel sistem olarak düÅŸünülebilir. ( Bu onüç aksiyom antik çaÄŸda Öklid tarafından bulunan modern bir aksiyomlar kümesinin, bugün indirgenmiÅŸ son ÅŸeklidir).
Ä°lk iki aksiyom üzerinde olma aksiyomları olarak bilinir.
[1] Verilen iki noktayı içeren bir tek doÄŸru vardır.
[2] Her doÄŸru en az iki nokta içerir. P kümesi doÄŸrusal olmayan en az üç nokta içerir.
Bunları izleyen dört aksiyom uzaklık fonksiyonunun pozitif tanımlı, simetrik ve üçgen
eÅŸitsizliÄŸini saÄŸladığını gösterir. Ayrıca cetvel aksiyomu denilen aksiyom saÄŸlanır.
Detaylı olarak, için bu dört aksiyom aÅŸağıdaki gibidir.
[3] Her sıralı (A,B) nokta çifti için (A,B) sayısını belirtir. Ayrıca (A,B)=0 olması için gerek ve yeter koÅŸul A=B olmasıdır.
[4] (A,B)= (B,A) dir.
[5] (A,B)+ (B,C)> (A,C) dir.
[6] Verilen bir L doÄŸrusu fL:L!R bire-bir ve örten fonksiyonu vardır öyleki L üzerindeki tüm A, B noktaları için;
|fL(A) - fL(B)|= (A,B)
olur.
Åžimdiki aksiyom düzlem ayırma aksiyomudur.
[7] Verilen bir L doÄŸrusu için P nin H1 veH2 gibi yarı düzlem olarak adlandırılan iki alt kümesi vardır öyleki,
(i) H1 veH2 konvekstir;
(ii) H1 [H2 = P - L (P den L nin atılmışı demektir);
(iii) A2H1 ve B2H2 ise \L ¹ Æ.
olur.
Åžimdi vereceÄŸimiz dört açı-ölçme aksiyomu bir bütün oluÅŸturur.
[8] m, her bir açı için 0 ile 180 arasında deÄŸiÅŸen bir reel sayı deÄŸeri ile belirtir.
[9] H yarı düzleminin kenarı üzerinde bir ışını ve 0 ile 180 arasında herhangi bir r reel sayısı verilsin. Bu durumda P2H olmak üzere mÐPAB = r olacak ÅŸekilde bir tek ışını vardır.
[10] EÄŸer D noktası ÐABC nin iç bölgesinde ise
mÐABD + mÐDBC = mÐABC
dir.
[11] EÄŸer B noktası, A ile C arasında ve DÏ ise,
mÐABD+mÐDBC = 180
dir.
Sıradaki aksiyom [P,L, ,m] sisteminin kenar - açı - kenar aksiyomudur.
[12] Ä°ki üçgenin köÅŸe noktaları arasında bire-bir bir eÅŸleme verilsin. EÄŸer birinci üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, ikinci üçgenin karşılık gelen kenarlarına ve açıya eÅŸ ise bu eÅŸleme bir eÅŸlik (çakışma) dir.
Son aksiyom [P,L, ,m] sisteminin ünlü paralellik aksiyomudur.
[13] L doÄŸrusunun dışında bir P noktası verilsin. Bu durumda P noktasından geçen ve L doÄŸrusuna paralel olan bir tek doÄŸru vardır.
|
EÄŸitim makaleleri 
