Öklid Dışı (non-Euclidean@Öklidyen Olmayan) Geometriler

Kısalığı saÄŸlamak için izleyen iki kısımda sadece düzlem geometri üzerinde durulacaktır. Öklid düzlemi yada kısaca düzlem denilince, herkesin anlayacağı bir dille söylersek, her doÄŸrultuda sınırsız uzayan düz pürüzsüz yüzey kastedilir. Noktalar ve doÄŸrulardan oluÅŸan düzlemde nokta ve doÄŸrularla ilgili bazı ifadelerin geçerlilikleri ispata gerek duyulmadan kabul edilirler. AKSÄ°YOM denilen ve doÄŸal olarak saÄŸlandığı varsayılan bu ifadelerin ispatı (aÅŸikar olduÄŸundan) mümkün deÄŸildir. Geometri de kabullanilen aksiyomların SONUÇLARI incelenir. Öklid Düzleminin Aksiyomları EK-1 de verildiÄŸi gibidir.

   Zaman içinde Öklid'in V. POSTULAT'ı Playfair aksiyomu adıyla daha kısa ve özlü olrak; düzlemde bir doÄŸruya dışında verilen bir noktadan geçen bir tek paralel doÄŸru çizilebilir biçiminde ifade edilmiÅŸtir. Öklid dönemi ve öncesinde, bu ifadeye "kesin olarak geçerli" denilemediÄŸi, yani ÅŸüphe edildiÄŸi, içindir ki aksiyom olarak deÄŸil, postulat olarak ifade edilmiÅŸtir. Gerçekten de GAUSS da dahil bir çok büyük matematikçiler bu ifadeyi ispatlamaya çalışmışlardır. Ancak 1820 lerin sonunda Bolyai ve Lobacevski V. Postulatın diÄŸer aksiyomların sonucu olmadığını; bu postulat dışındaki bazı Öklid Aksiyomlarıyla birlikte

H:Bir doÄŸruya dışında verilen bir noktadan geçen iki (yada daha çok sayıda) paralel doÄŸru çizilebilir

ifadesi alınarak yeni bir geometri oluÅŸturulabileceÄŸini gösterdiler. Böylece hiperbolik geometri, dolayısıyla ÖKLÄ°D DIÅžI GEOMETRÄ° kavramı ortaya çıktı. Öklid aksiyomlarını saÄŸlayan bir tek düzlem varken Bolyai-Lobacevski aksiyomlarını gerçekleÅŸtiren bir çok reel model geliÅŸtirilmiÅŸtir. Bunların bir kaçını belirtelim:

Taksi Düzlemi

Klein Modeli

Maksimum Düzlem Modeli

Poincare Üst Yarı Düzlem Modeli

Poincare disk Modeli

......

Gauss ve Riemann'ın çalışmaları ile hiperbolik geometrideki geliÅŸmeleri deÄŸerlendirerek

P : Farklı iki doğru bir tek noktada kesişir

ifadesini ve bazı Öklid aksiyomları ele alınarak PROJEKTÄ°F GEOMETRÄ° (ve genelde Eliptik Geometri) geliÅŸtirildi. Üstelik, sonsuz çoklukta projektif düzlem bulundu. Bugüne kadar bu konuda milyonlarca araÅŸtırma (makale), yüzlerce kitap yazıldı ve hala çözülmeyi bekleyen çok sayıda önemli problemler vardır. Böylece V. Postulat, H ve P nin hepsinin ayrı ayrı geçerli olduÄŸu geometriler ortaya çıktı.

Öklid'in elementlerindeki aksiyomlarda var olan bazı belirsizlikler ve eksiklikler, uzun yıllar boyunca bilinmesine karşın, aynen kullanılmışlardır. Ancak Hilbert 1889 da çağının bilgileriyle Öklid düzlemin aksiyomlarını yeniden düzenlemiÅŸtir. GRUNDLAGEN DER GEOMETRÄ° adlı eserdeki bu aksiyom sistemi EK-2 de verilmiÅŸtir.

Artık Öklid düzlemi için, tüm matematik dünyasınca "mükemmel" olarak deÄŸerlendirilen bu aksiyom sistemi (Hilbert Düzenlemesi) geçerlidir denilebilir. Ancak 20. yüzyılda çaÄŸdaÅŸ matematik bilgileri göz önüne alınarak daha kısa ve daha rafine bir aksiyom sistemi oluÅŸturulmuÅŸtur. F. Krause'nin TAXICAB GEOMETRY adlı kitabından aldığım ve son zamanlarda Öklid düzlem geometrisi (SMSG geometrisi dahil) iÅŸleyen birçok eser de kullanılan Birkhoff'un METRÄ°K AKSÄ°YOMLARININ bir modifikasyonu olan bu aksiyom sistemi EK-3 de verilmiÅŸtir.

Bu aksiyom sistemlerinin karlılaştırılmasını ilgilenenlere bırakarak konumuzu biraz değiştirelim.

3. Öklid Dışı Geometri Anlayışında DeÄŸiÅŸiklik

Tarihsel olarak, paralellik aksiyomunu saÄŸlamayan her Geometri Öklid dışı bir geometri olarak bilinmektedir. Fakat artık Hilbert (veya eÅŸ anlamlı olarak Birkhoff) tarafından verilen aksiyomlardan "en az birini saÄŸlamayan bir geometri Öklidyen olmayan bir geometridir" anlayışı yerleÅŸmiÅŸ bulunmaktadır. ÖrneÄŸin, Taksi geometri, KRAUSE düzenlemesindeki paralellik aksiyomu dahil 12 aksiyomun hepsini saÄŸlayan fakat sadece KAK:(Üçgenlerde EÅŸlik) Aksiyomunu saÄŸlamayan bir geometridir. Dolayısıyla Öklidyen olmayan geometriler spektrumu oldukça büyük hale gelmiÅŸtir. Bu konuda daha baÅŸka örnekler, projektif, hiperbolik veya metrik geometrilerden kolaylıkla hemen verilebilir.