Bu sebebledir ki son yirmi beÅŸ yıldaki tüm derslerimde anlattığım her konuda temsili ÅŸekiller çizmeÄŸi alışkanlık haline getirdim. Çünkü görmek anlamayı kolaylaÅŸtırır (Ä°ngilizce'de "anlıyorum" anlamında da "görüyorum" ifadesinin sıkça kullanılması boÅŸuna deÄŸil!). Ülkemizde ilk ve orta öÄŸretimde (hatta birkaçı hariç üniversitelerimizde) Öklid geometrisi ve onun uzantıları olan afin uzaylar ve differensiyel geometri konuları incelenir. Öklid dışı geometrilerin de sadece varlığından bir kaç cümle ile söz edilir.

Oysa benzerlik, farklılık, aykırılık ve zıtlığın öÄŸretimdeki büyük rolü inkar edilemez. Çünkü kötüyü bilmeden iyiyi, çirkini bilmeden güzeli, kısa kavramını belirlemeden uzun kavramını anlamlandıramazsınız. Yine birbirine çok benzeyen iki ÅŸeyi ayırabilmek için farklılıklarını ortaya koymak gerekir. Gelelim Öklid dışı geometrilere. Kanatimce Öklid dışı geometrilerin sadece varlığından söz edip bırakmak oldukça sakıncalıdır. Nitekim, ABD ve bazı uzak doÄŸu ülkelerinde orta öÄŸretim programları Öklid dışı geometrilerden bazı örneklemelerle -basitleÅŸtirilerek- donatılmaktadır.

ÖÄŸretmen yetiÅŸtiren öÄŸretim kurumlarında Öklid dışı geometriler ve Elementer projektif geometri mutlaka okutulmaktadır. 1980 öncesi yıllarda "EÄŸitim Enstitüsü" adı altında öÄŸretim yapan okulların programlarında elemanter projektif geometri dersi vardı ama okutacak öÄŸretmen yoktu. Bugün ilk ve orta öÄŸretimde görev yapan öÄŸretmenlerimizin yüzde doksan dokuzunun yukarıda saydığım konularda yetersiz ve donatımsız olduÄŸu bir gerçektir. Bunun sebebi öÄŸretmenlerimiz deÄŸil fakat yeterli kadrolara sahip olmayan yüksek öÄŸretim kurumlarımız ve bizleriz. KonuÅŸmacınız bunun bilincine ancak ellili yaÅŸlarında ulaÅŸmıştır ve bu boÅŸluk ve eksikliÄŸi kendi çapında gidermek için bazı gayretler içindedir. Åžu anki tebliÄŸ de bu düÅŸüncenin eseridir.

   Burada ÅŸu sorular sorulabilir: Öklid dışı geometrilerin orta öÄŸretimle ilgisi nedir? Bunlar hangi kapsamda ve nasıl anlatılabilir? Mevcut eksiklikler nasıl giderilir?

   Soruların kısa cevabı kanaatimce ÅŸöyle özetlenebilir:

Son sorudan baÅŸlarsak, eksikliklerin giderilmesi için öÄŸretmen yetiÅŸtiren yüksek öÄŸretim kurumlarında Öklid geometrisi ve Öklidyen olmayan geometrilerin okutulması gerekir.

Son elli yılda artık EK-3 de sunulan (Metrik yaklaşımlı) aksiyom sistemi kullanılmaktadır. Oysa gerek taksi geometri, gerek maksimum metriÄŸi ile geliÅŸtirilen geometride Öklid düzlemi ile aynı nokta ve doÄŸru kümeleri kullanılmakta, açılar da aynı yolla ölçülebilmektedir. Bunların her ikiside 13 aksiyomdan 12 tanesini saÄŸlamakta sadece Kenar-Açı-Kenar (KAK) aksiyomununda aykırılık göstermektedir.

Sonuç olarak KAK aksiyomunun da Öklidyen geometri için kritik ve belirleyici aksiyom olduÄŸu görülmektedir. Buradaki önemli husus, Öklidyen geometride birçok baÅŸka kavramlarıda belirlemekte ve tanımlamakta kullanılan UZAKLIK kavramının tanımından ortaya çıktığının öÄŸretici tarafından iyi bilinmesidir. O, öÄŸrenciye pedagojik nedenlerle bu yeni modelleri tamamen veremese bile kendince örnekler düzenleyebilir. AÅŸağıdaki konular orta öÄŸretimde basitleÅŸtirilerek örneklerle öÄŸrenciye verilebilir:

Düzlem Taksi geometrisi tanıtılır, modern yaÅŸamdaki çok sayıdaki uygulamaları verilir. Öklidyen düzlem geometrinin 13 aksiyomundan 12 tanesini saÄŸladığı fakat sadece KAK aksiyomunun saÄŸlanmadığı -aÅŸağıdakine benzer bir örnekle- gösterilebilir.

Öklid geometrisinde "C, A ile B arasında Û d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" arada olma aksiyomu bir çok metrik geometride gerli deÄŸildir. ÖrneÄŸin; (1,-1)

"arada olma" yı daha belirlemek için metrik yaklaşımda "C, A ile B arasında ve CÎ Û d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" biçiminde geliÅŸtirilmiÅŸtir.

Öklid düzleminin istenilen kadar büyük yarıçaplı fakat gerektiÄŸinde sınırlı bir bölgede yaÅŸam uygulaması mümkün kılan Klein Modeli tanıtılarak Öklid dışı geometri kolayca anlatılabilir.

 - Bu modelde paralellik nasıl tanımlanır?

- Paralel olmayan ve kesişmeyen doğrular var mı?

- Paralellik aksiyomu dışındaki aksiyomlar sağlanır mı?

gibi sorulara cevap aranabilir.

Poincare'nin yarı düzlem hiperbolik geometrisi tanıtılır. Paralellik aksiyomunun saÄŸlanmadığı, üçgenin iç açıları toplamının 180 den küçük olduÄŸu kolaylıkla gösterilebilir.