mm arrow Geometri makaleleri arrow Altın oran
Altın oran Yazdır E-Posta

Bu yazıda matematikteki çok özel bir sayı olan altın orandan, bu sayının tarihçesi, sanat, estetik uygulamalarının yanı sıra en önemli özelliği olan kâinattaki uygulamalarından bahsedeceğiz.

İnsanlar bazı dikdörtgenleri diğerlerine tercih ederler. Şişman ve kare olanlarından, zayıf ve uzun olanlarına bir dizi dikdörtgen gösterildiğinde, kenarları belli bir orana sahip olanı genelde tercih edilir. Bu oran altın oran olarak bilinen sayıdır. Bu sayı estetiğin temel sayısı olup, tarih boyunca Yunan mimarisinden Mona Lisa'nın yüz resminin çerçevesine kadar kullanılmıştır.

Bu sayıyla sadece estetikte değil, bilimde de karşı-laşılmaktadır. Physical Review B dergisinde yeni yayımlanan bir makalede, bazı metallerin özelliklerinde bu sayıya rastlanıldığı rapor edilmiştir. Altın orana, bitki saplarının üzerinde yaprakların yerleştirilmesinde, ayçiçeğinin çekirdeklerinin dizilişinde, deniz kabuklarının ve galaksilerin spirallerinde, hattâ dönen karadeliklerin özelliklerinde rastlanılmaktadır. Bu sayı kâinatın hemen her yerindedir. 

Altın oran, ilk önce MÖ 300'lü yıllarda Yunan matematikçi Öklid tarafından tanımlanmışsa Pisagor?un takipçileri tarafından muhtemelen iki yüzyıl önce bilinmekteydi. Öklid bu oranı iki eşit olmayan parçaya bölünen doğru cinsinden tanımlamıştı . Eğer uzun parçanın kısa parçaya oranı, bütün doğrunun uzun parçaya oranına eşit ise, doğru altın oranda bölünmüş demektir. Sayısal olarak bu oran; 1,6180339887? şeklindedir.


Bu oran bazı ilginç matematikî özelliklere de sahiptir. Sayının karesini almak için sayıya 1 eklemeniz yeterlidir. Çarpma işlemine göre tersi için ise, sayıdan 1 çıkarmanız gerekir. Bu özelliğinden dolayı elinizdeki altın dikdörtgenden (kenarları oranı altın oran olan) bir kenarı kısa kenar olan bir kareyi kesip ayırırsanız geriye yine altın bir dikdörtgen kalacaktır.

Diğer bir özellik ise şöyledir: Herhangi iki sayıyı seçerek bir sayı dizisi başlatalım. Bu sayıların toplamı dizinin üçüncü elemanı olsun. Dördüncü eleman iki ve üçüncü elemanın toplamı, beşinci eleman ise, kendisinden önceki iki elemanın toplamı olsun. Örneğin 7 ve 11 sayıları ile başladıysanız dizi 7, 11, 18, 29, 47, 76 şeklinde devam edecektir. Dizinin 20. sayısını 19. sayıya böldüğünüzde yaklaşık altın oran elde edilecektir. Matematik diliyle ifade edersek (an / an-1 )=altın oran olacaktır.

Tabiatta çok fazla karşılaşılan Fibonacci sayı dizisi bu mantıkla elde edilmektedir. Dizi şöyledir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55? Dizinin ilerleyen sayılarında alınan bir terimin bir önceki terime oranı altın orana yakınlaşmaktadır. Bu dizi deniz kabuğu spirallerinin oranlarını ve ayçiçeğindeki çekirdeklerin dizilişini belirler.

Sanatçı ve mimarların altın orana rağbeti, İtalyan rahip ve matematikçi Luca Pacioli'ye dayanmaktadır. 15. yüzyılda Pacioli üç ciltlik 'Kutsal Oran' adlı bir risale yayımlamıştı. Altın Oranın ondalık açılımındaki rakamların grup halinde hiç tekrar etmemesini Allah'ın kavranamayan mahiyetine benzetmişti.

Pacioli'den sonra birçok ressam, mimar ve müzisyen bu oranı eserlerinde kullanmıştır. Bazı meşhur örnekler: Bestekâr Debussy, Bartok ve mimar Le Corbusier...

Altın oranın uygulama alanlarından birisi olan yaprakların dikey bir bitki sistemindeki dizilişi olan phyllotaxis'i ele alalım. Her yeni yaprak büyürken, bir altındaki yapraktan belli bir açı farkı ile çıkar. Bu açı büyük çoğunlukla 137,5 derecedir. 360 derecenin altın oranda bölünmesi ile 137,5 ve 222,5 derecelik açılar elde edilir.

Phyllotaxis'te neden altın oran çıkmaktadır? Bu tamamiyle verimlilikle ilgilidir. Sapın ucundaki her bir yeni yaprak güneş ışığını alırken önceki yaprakları en az şekilde gölgede bırakmalıdır. Altın oran şeklindeki açı bölünmesi ile sap etrafına spiral şeklinde yerleştirilen yapraklar, ideal konumları ile güneş ışığından maksimum istifadeyi elde edebilmektedir.

Eğer birbirini takip eden yapraklar 120 derece açıyla yerleştirilmiş olsalardı, yukarıdan bakan birisi yaprakları 3 sütun halinde görecekti ve bu sütunların arasında büyük boşluklar oluşacaktı. Bu ise güneş ışınlarının verimli ulaşmasını engelleyecekti.

Eğer açı 50 derece olsa idi, üç sütundan fazla sütun olacaktı; ama yine boşluklar bulunacaktı ve az bir yaprak sayısından sonra birbirinin tamamen altına rastlayan yapraklar bulunacaktı. Fakat 137,5 derecelik açıda boşluklar asgariye indirilmekte ve ışık alma kapasitesi düşürülmeden maksimum sayıda yaprak yerleşebilmektedir.

Altın orana malzeme biliminde de rastlanıldı. Kristaller gibi tamamen düzgün yapıları olmayan kuasikristallerin büyümesini ele alalım. Bu kristaller 5 katlı simetriye sahiptir ve tam dönüşün beşte biri kadar döndürüldüğünde aynı gözükürler. Bu kristallerin 1984'te keşfedilmesinden beri birçok araştırmacı bunları büyütmeye ve garip özelliklerini incelemeye başlamıştır.

New York Eyaletindeki Brookhaven Ulusal Lâboratuarı?ndan Tanhong Cai bu tipteki iki kristalin büyütülmüş görüntülerini inceledi. Kristaller, Aluminyum-Bakır-Demir ve Aluminyum-Paladyum-Manganez alaşımlarına aitti. Kristal şekillerinde düzlem alanların keskin düşey basamaklarla birbirinden ayrıldığını gördü. Basamaklar iki baskın ölçüde çıkmaktaydılar ve bu iki ölçünün oranı altın oranına eşitti. Bu buluş 2002 yılına ait yeni bir buluştu.

 

Eğer AC'nin CB'ye oranı, AB'nin AC'ye oranına eşitse, doğru altın oranda bölünmüş demektir. Kenarlarının oranı, altın oran olan bir dikdörtgeni sürekli altın oranda bölerseniz, deniz kabuklarında ve galaksilerde gördüğümüz spiral şeklini elde edersiniz. (New Scientist, 21/28 December 2002)

Altın orana sadece dünyada rastlanmamaktadır. Spiral şeklindeki galaksilerde de bu orana rastlanmıştır . Makro âlemdeki diğer bir uygulama da karadeliklerdir. 1989'da Adelaide Üniversitesinden Paul Davies dönen karadeliklerin termodinamiğinin altın oranla münasebetli olduğunu keşfetti.

Hemen her şey pozitif özgül ısıya sahiptir. Böylece enerji bıraktıklarında soğurlar. Dönen bir karadelik ise, negatif özgül ısıya sahip olabilir; böylece enerji bıraktığında daha sıcak olur. Karadeliğin özgül ısısının negatif veya pozitif olması, karadeliğin kütlesine ve dönme hızı ile ilgili dönme parametresine bağımlıdır.

Davies, karadeliğin kütlesinin karekökünün dönme parametresinin kareköküne, oranı altın orana eşit olduğunda özgül ısısının negatiften pozitife değiştiğini buldu. Yani bir ölçüde altın oran karadeliğin karakterini belirliyordu.

 

Çam kozalağında altın orandan elde edilen spiralleri görmek mümkündür.

Altın oranın tabiatta ve canlılarda sayısız örnekleri vardır. Parmak ucundan başlayıp, elin içine doğru gidildikçe her bir kemiğin bir öncekine oranı altın oran çıkmaktadır.

Çam kozalaklarında, altın oran yöntemi ile elde edilen spiralleri görmek mümkündür . Echinacea purpura çiçeğinde de bu spiraller tespit edilmiştir . Bu konudaki sayısız örneklerden son bir örneği, karnabahar sebzesini ve spirallerini verelim.

Gelişmekte olan bilim sayesinde altın oranın kâinattaki yeni uygulamaları keşfedilebilecektir. Malzeme bilimi ve karadeliklerle ilgili son buluşlar, bu görüşü teyit etmektedir.

Belki de bu oranın teknolojiye aktarılması ile daha verimli ve hayatımızı daha kolaylaştıracak ürünler kullanıma sunulabilecektir. Kâinatın içerisine serpiştirilmiş bu ve benzeri sırlar, düşünce ufkumuzda yenilenmeye ve ilerlemeye vesile olabilir.

Prof.Dr. M.Sami POLATÖZ

 Kaynak

-Marcus Chown, Why Should Nature Have a Favorite Number, NewScientist, 21/28 December 2002, 55-56.

<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HİPERBOLİK UZAY
FOTO MATEMATİK
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARİKATÜR
M.C.Escher galeri
MATEMATİK KİTABI
MATEMATİK FİLMİ