• Büyük bir alanı, daha küçük parçalara en iktisatlı ÅŸekilde bölmeyi arılar nereden öÄŸrendi?

• Altıgenin, eÅŸkenar üçgen ve kareye nazaran avantajlı tarafları…

• Altıgen bir prizma ÅŸeklinde olan peteÄŸin, açık ucunu kapatmak için kullanılacak balmumunun israf edilmemesi için, nasıl bir geometri uygulanmalıdır?

• Arıların, azamî tasarruf prensibi, geometri bilgisi ve mimarî hususunda gösterdikleri hayretengiz davranışlarının kaynağını “içgüdü” tabiriyle izah edebilir miyiz? Yoksa buna Sevk-i Ä°lâhî mi demeliyiz?

Bal peteÄŸinin enteresan mimarisi tarih boyunca insanların ilgisini çekmiÅŸtir. Yan yana altıgenlerden oluÅŸan bu yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mm’dir.

Bu ortalama deÄŸerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır. Peteklerin inÅŸasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduÄŸunu anlayabilmek için, matematikî bir bakış açısına sahip olmak gerekir.

Daire, belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluÄŸuna sahip geometrik ÅŸekildir. Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaÅŸtırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduÄŸu görülür. Ancak bal peteÄŸinin inÅŸasında durum tam olarak böyle deÄŸildir.

Burada bal peteÄŸinin geniÅŸ çerçevesi, eÅŸit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme iÅŸleminde en az çevre uzunluÄŸuna sahip ÅŸekil kullanılacaktır. Çerçeveyi, eÅŸit alanlara sahip küçük daireler ÅŸeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda ifade edildiÄŸi gibi en kısa kenar özelliÄŸi saÄŸlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boÅŸluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır.

Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluÄŸu ve en az malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiÄŸimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiÄŸi görülecektir. Kenar sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düÅŸünelim. Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluÄŸuna sahip olanı düzgün n-gendir.

Düzgün ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eÅŸit olandır. Bu tip bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köÅŸeleri çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapının ideal daire ÅŸekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluÄŸu en az olmaktadır.

Meselâ eÅŸit alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluÄŸu eÅŸkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluÄŸu ise karede elde edilir. Benzer ÅŸekilde beÅŸgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluÄŸu düzgün beÅŸgen ve altıgende elde edilebilir.

Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamız gerektiÄŸidir. Bir daire ve içerisine çizilmiÅŸ n kenarlı bir düzgün çokgenin bir kısmı Åžekil 1′de gösterilmiÅŸtir.

Åžekilden de görülebileceÄŸi gibi çokgenin bir iç açısı 180-360/n derecedir. Verilen bir geniÅŸ alanı küçük alanlara bölmek istediÄŸimizde, komÅŸu çokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boÅŸluk kalmaması gerekir.

Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komÅŸu çokgen köÅŸelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır (Åžekil 2). BaÅŸka bir ifadeyle bir iç açının tam sayı bir katı 360 derece olmalıdır. N komÅŸu iç açıların adedini temsil etmek üzere, bu durumda aÅŸağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):

N (180 - 360 / n ) = 360
Buradan N çözülürse
N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2)
ifadesi elde edilir. Bulmak istediÄŸimiz, hangi kenar sayısı n için, N deÄŸeri tamsayı olmaktadır. Tamsayı deÄŸerleri, sadece n=3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6′dan büyük hiçbir rakam için tamsayı elde edilemez.

Yani bir alanı boÅŸluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya altıgen kullanmalıyız. Kenar sayısı 6′dan fazla olan düzgün bir çokgen ile boÅŸluksuz bölme mümkün deÄŸildir. Benzer ÅŸekilde düzgün beÅŸgenler de uygun bir çözüm deÄŸildir. Åžekil 3′te üç düzgün beÅŸgenin yan yana getirilmesi ile 36O açılı boÅŸ bir alan ortaya çıkmıştır.

Halbuki altıgenler boÅŸluksuz yan yana getirilebilirler (Åžekil 4). Ayrıca eÅŸit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaÅŸtırıldığında, en az çizgi uzunluÄŸu altıgende olmaktadır. Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı bu ÅŸekilde bölme kullanılarak elde edilebilir.

Matematikçiler ayrıca, kenarları doÄŸru olmayan, eÄŸri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araÅŸtırdılar. Kenar eÄŸri olunca, bir çokgende dışbükey ÅŸekil elde edilirken komÅŸu çokgende ister istemez içbükey ÅŸekil elde edilmektedir.

Dışbükey eÄŸri ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha fazla benzemesinden dolayı) içbükey eÄŸriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir. Michigan Üniversitesi’nden Thomas Hales 1999′da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eÅŸit küçük alanlara ayırmak istediÄŸimizde, en ideal ÅŸeklin düzgün altıgen olduÄŸunu ispatladı.

Her ne kadar altıgen ÅŸeklin, ideal bir ÅŸekil olduÄŸu uzun zamandır belirtilse de, bunun saÄŸlam bir matematik ispatı yapılamamıştı. 1999′da ispatını ancak yapabildiÄŸimiz bir çözümü, arıların milyonlarca yıldır ÅŸaşırmadan Sevk-i Ä°lâhî ile uygulamaları, Allah’ın ilhâmından baÅŸka ne olabilir ki… Åžâyet arıların petek inÅŸa teknikleri ilk yaratıldıkları dönemden bu yana evrimleÅŸerek gelseydi, fosil kayıtlarında, altıgen dışında baÅŸka geometrik ÅŸekillere de rastlanması gerekirdi.

Halbuki baÅŸka bir ÅŸekildeki bal peteÄŸinin kullanıldığına dâir ipucuna rastlanmamıştır. Bizzat Charles Darwin bal peteÄŸini, iÅŸçilik ve balmumunu mükemmel ekonomize eden bir mühendislik harikası olarak tanımlamıştır.

Åžimdiye kadar probleme iki boyutlu baktık. Ancak bal peteÄŸi üç boyutlu bir cisim olup altıgen prizma ÅŸeklindedir. Altıgen prizma ÅŸeklindeki petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçları açık, diÄŸer kapalı uçları ise sırt sırta yerleÅŸtirilmiÅŸtir (Åžekil 5).

Çerçeve yere dik gelecek ÅŸekilde yerleÅŸtirildiÄŸinde, prizmalar yatay ile 13O’lik bir eÄŸim açısı yapacak ÅŸekilde inÅŸa edilmiÅŸ olurlar ve bu açı balın akmaması için yeterli olan en küçük açıdır. Acaba peteÄŸin kapalı ucunda en az balmumu sarfiyatı için nasıl bir geometri olmalıdır? 1964′te matematikçi Fejes Toth, en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile saÄŸlanabileceÄŸini gösterdi (Åžekil 6a).

Arılar ise biraz farklı olarak üç eÅŸkenar dörtgenle kapatma yapmaktaydılar (Åžekil 6b). EÅŸkenar dörtgenlerin iç açıları 70,5O ve 109,5O olup, üç eÅŸkenar dörtgen çatısı ÅŸekli için en ideal matematik çözümü vermektedir. GörünüÅŸte arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye göre alanda % 0,035′lik çok küçük bir kayıp olmaktaydı. Ancak gözden kaçırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu.

AraÅŸtırmacılar, Toth’un matematik modelini tecrübe etmek üzere sıvı hava köpüÄŸü kullandılar. Ä°ki cam arasına, iki tabaka olacak ÅŸekilde 2 mm çaplı kabarcıklara sahip deterjan çözeltisi pompaladılar. Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara dönüÅŸtü.

Ortada iki tabakanın sınırında ise Toth’un öne sürdüÄŸü iki altıgen ve iki kare ÅŸeklindeki yapı oluÅŸtu. Kabarcık duvarları biraz kalınlaÅŸtırıldığında ise, enteresan bir durum ortaya çıktı ve yapı birden arılarda olduÄŸu gibi üç eÅŸkenar dörtgen yapısına dönüÅŸtü. Deney, arılara en ideal ÅŸeklin ilham edildiÄŸini teyit etmekteydi.

Kutlu Beyan’da bal arısının davranışlarına da yer verilmektedir: “Rabb’in bal arısına ÅŸöyle vahyetti: DaÄŸlardan aÄŸaçlardan ve insanların kurdukları çardaklardan kendine göz göz ev edin. Sonra da her türlü üründen ye de, Rabb’inin sana yayılman için belirlediÄŸi yolları tut. Onların karınlarından renkleri çeÅŸit çeÅŸit bir ÅŸerbet çıkar ki onda insanlara ÅŸifa vardır. Elbette düÅŸünen kimseler için bunda alacak ibret vardır.” (Nahl, 68, 69) .

Prof.Dr. M.Sami POLATÖZ 

_______________

Kaynaklar
1- Science News, Vol 156, No. 4, July 24 1999.
2- John A. Adam, Mathematics in Nature, Princeton University Press, 2003.