Gödel'in eksiklik teoremi

Eğer Gödel'in eksiklik teorisi ile ilgili okuduğunuz herşeye inandıysanız, teorinin hayatın, kainatın ve herşeyin anlamını açıkladığına inanmanız beklenebilir.Bazı görüşlere göre, bu teori insan zekasını, hür iradenin tabiatını ve evren hakkında bilebileceğimiz herşeyi açıklamaktadır.

Daha fazla reklam yapmaya gerek yok çünkü matematikçilerin büyük çoğunluğu Gödel'in eksiklik teorisinin matematikteki en önemli ilerlemelerden biri olduğu üzerinde hemfikirdirler. Ayrıca matematikteki en ilginç ve rahatsız edici teorilerden biri olarak da anılmaktadır.

19.yy sonlarında matematikçilerin büyük kısmında yeni bir matematik çeşidi ile evrenin bize sunacağı bütün problemleri çözmemizin  mümkün olabileceği inancı yerleşmekteydi. 1920'de Alman matematikçi David Hilbert bütün matematiksel bilgilerin toplanacağı bilimsel bir araştırma teklifini getirdi. Bu araştırmayla matematik lisanının kusursuzluğunu ve kendi içinde tutarlılığını göstemeyi hedefliyordu.

Hilbert'in hatalıydı. Ve onun hatalı olduğunu ispatlayan Kurt Godel oldu.

Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilirse, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi. Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:

1. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı (consistent) ise eksiksiz (complete) değildir.
2. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.

İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.

Gödel'in eksiklik teorisinin insan beyni için uyguladığımızda ilginç sonuçlara ulaşırız. Eğer beyinlerimiz tutarlı bir şekilde çalışan makinelerse, acaba mümküm müdür ki bazı gerçekler var olsun ama ispalamak mümkün olmasın? Cevabı henüz bilinmiyor

Kaynak: JustinMullins.com'dan tercüme  

Vikipedi Gödel'in Eksiklik Teoremi