Georg Cantor'un dogal sayılar ile reel sayıların birebir eÅŸlemesinin yapılamayacağını göstermek için gelistirdigi yöntem................

.........Demek ki varsaydigimiz birebir esleme mümkün degil ve aslinda reel sayilar kümesindeki eleman sayisi dogal sayılar kümesindeki eleman sayısından daha fazla.

Georg Cantor'un dogal sayilar ile reel sayilarin birebir eslemesinin yapilamayacagini göstermek için gelistirdigi yöntem.

Böyle bir eslemenin varligi sonsuz elemanli kümelerin büyüklüklerinin karsilastirilmasi kavraminin gelisimi açisindan son derece önemlidir. Verilen bir A kümesinin en az B kümesi kadar büyük olmasi B'den A'ya bir birebir fonksiyonun var olmasi seklinde tanimlanir . Böylelikle B'nin bir kopyasinin A'nin içersinde bulunabiliyor olmasi saglanir. Eger ayni sekilde B'den de A'ya bir birebir fonksiyon varsa o zaman bu iki küme esit büyüklükte denir.
Örnek olarak Çift Tam Sayilar Kümesi'nin ile Tam Sayilar Kümesi düsünülebilir. Çift Tam Sayılar Kümesi'nin elemanlari Tam sayılar kümesi'nin içersinde kendi kendilerine gönderilir.

Ispat : Reel sayilarin sonlu veya sonsuz uzunlukta ondalik sayilar olarak yazilabilecegi bilinir. Diyelim ki Cantor'un iddiasi yanlis ve de reel sayilarla dogal sayilar birebir eslenebiliyor. O zaman sadece 0 la 1 arasindaki reel sayilarla (bütün) dogal sayilari birebir eslemek de mümkündür. Böyle bir eslemeyi alalim ve 0 la 1 arasindaki reel sayilari verilen eslemeye göre siralayarak bir liste elde edelim.

Simdi 0 la 1 arasinda öyle bir reel sayi kurgulayacagiz ki bu sayinin bu listede yer almasi mümkün olmayacak. Bu sayiya C adini verelim ve onu su kurala göre olusturalim: birinci sayinin ilk ondalik basamagina bakalim ve buradaki rakamdan farkli herhangi bir rakami seçip C sayisinin ilk basamagi olarak yazalim, ayni sekilde C'nin ikinci, üçüncü,... basamaklarini da olusturalim. Mesela eger 0 la 1 arasindaki reel sayilar asagidaki gibi siralanmissa:

1) 0,13567.......
2) 0,25678.......
3) 0,00212.......
4) 0,14221.......
.
.
.


C sayisinin ilk basamaginin 1'den farkli, 2. basamaginin 5'ten farkli, 3. basamaginin 2'den farkli, 4. basamaginin gene 2'den farkli birer rakam olarak seçeriz.

Bu noktada fark etmemiz gereken sey, C'nin kendisi bir reel sayi oldugu halde bu listede yer alan her sayidan en az bir ondalik basamakta (daha dogrusu o sayi listemizde kaçinci sirada yer aliyorsa o basamakta) farkli oldugu ve dolayisiyla bu listede yer alamayacagi. Demek ki varsaydigimiz birebir esleme mümkün degil ve aslinda reel sayilar kümesindeki eleman sayisi dogal sayilar kümesindeki eleman sayisindan daha fazla.