gg arrow Matematik makaleleri arrow Eflatuncular, formalistler ve matematiÄŸin en deÄŸerli formülü
Eflatuncular, formalistler ve matematiÄŸin en deÄŸerli formülü Yazdır E-Posta

    Aristo kapısına “matematik bilmeyen giremez” yazısını asmıştı. Bununla matematik bilmeyenlerin kendisini anlamayacaklarını mı kasdetmiÅŸ, yoksa sadece insanları matematik öÄŸrenmeye teÅŸvik etmek mi istemiÅŸti, bilemiyoruz. Ancak o zaman bile matematiÄŸe deÄŸer verildiÄŸini anlıyoruz. Milattan çok önce yaÅŸamış olan Pisagor’un, geometrik ÅŸekiller üzerinde çalışırken keÅŸfettiÄŸi dik üçgen teoremi bugüne kadar tazeliÄŸini korumuÅŸ olup, bugün de aynı teorem öÄŸretilmektedir.

Her asırda gelen insanların bir ÅŸeyler eklemesiyle sürekli geliÅŸen matematik, bugünkü muazzam ÅŸeklini almıştır. GloballeÅŸen dünyadan bu bilim de nasibini almış ve matematik dünyanın her yerinde insanların çalıştığı evrensel bir dil olmuÅŸtur.

ÇoÄŸu ÖÄŸrencinin baÅŸ belâsı olarak gördüÄŸü matematiÄŸin, ne olduÄŸu ve nereden çıktığı hususunda mevcut iki görüÅŸten biri Eflatuna kadar uzanmaktadır.

{tab=Eflatuncu-Formalist} 

Bu görüÅŸe göre matematik insanlardan bağımsız olarak kâinatta mevcuttur. Ä°nsanlar onu keÅŸfederler. Bu görüÅŸü savunan insanlara Eflatuncu denmektedir.

DiÄŸer görüÅŸe göre ise; matematik insan beyninin bir ürünüdür, keÅŸif deÄŸil bir icattır. Bu düÅŸüncedeki insanlara da formalist denir, Eflatunculuk ve formalizme matematiÄŸin iki farklı okulu veya ekolü nazarıyla bakılabilir.

Bu iki düÅŸünce arasındaki farkı anlamak için bir misal üzerinde duralım: “Sonsuz tane asal sayı (kendisi ve birden baÅŸka böleni olmayan) vardır” ifadesi matematik açısından ya doÄŸrudur veya yanlıştır. Bundan binlerce yıl önce yaÅŸamış olan Öklit’in yaptığı zekice ispattan bu yana bunun doÄŸru olduÄŸunu biliyoruz. Bu noktada Eflatuncular ÅŸunu derler: “Biz asal sayıları henüz bilmiyorken, asal sayılar vardı ve sonsuz taneydi. Onların sonsuz tane olduÄŸunu sonradan keÅŸfettik.” Formalistler ise, bizim asal sayıları tanımlamamızdan önce, onların sonsuz olup olmadığını düÅŸünmenin mânâsız olduÄŸunu ifade ederek, onların bizim tanımlamamızla ortaya çıktığını düÅŸünürler.


Formalistlerin karşısına çıkan ilk ciddi problemin sayılar olup, ilk olarak sayma iÅŸleminden ortaya çıktığını biliyoruz. Saymayı bilmeyen çobanın koyunlarının her biri için torbasına bir taÅŸ koyduÄŸu ve her koyununu bir taÅŸla eÅŸleÅŸtirerek kaybolan koyun olup olmadığını tespit ettiÄŸi hikayesini çok duymuÅŸuzdur. Sonradan sayılara isimler verildi. Ä°ki eldeki parmaklara göre 10’luk sayma sistemi ile hesap yapmak, insanlara daha kolay geldi (Aslında 10’luk, 3’lük veya 4’lük sayı sistemi kullanmanın saÄŸladığı herhangi bir kolaylık yok).

Daha sonra insanlar toplama ve çıkarma iÅŸlemlerini kullandılar ve böylece aritmetiÄŸin temelleri atıldı. Formalistler, toplama ve çıkarma gibi basit iÅŸlemlerin bile kâinattan bağımsız olarak bazı aksiyomlara dayanan mantık kurallarından ibaret olduÄŸunu iddia ederler. “Biz belli kuralları belli sembollerle ifade ederek aritmetik yapıyoruz” derler.

Yani fiziki dünyada ne anlama geldiÄŸini bilmediÄŸimiz “ 5” sembolüyle, yine ne ifade ettiÄŸini bilmediÄŸimiz “ 7” sembolünü alıp ikisi arasına, anlamını bilmediÄŸimiz “+“ iÅŸaretini koyarak bunların en sağına da “=“ iÅŸareti yazınca, elimizdeki aksiyomlara ve mantık kurallarına dayanarak, en saÄŸa “ 12” sembolünü yazmamız gerektiÄŸini biliyoruz.

Aynen bir hesap makinesinin hiçbir ÅŸey anlamadan bu iÅŸlemleri yapması gibi. Åžimdi bizim toplama iÅŸlemini dünyadaki mevcudattan tamamen bağımsız, sadece aksiyomlara dayalı olarak tanımladığımızı düÅŸünelim. Birisi gelip de bizim sembolik sayılarımızı, dünyadaki koyunların sayısını ifade etmede kullansa ve “+” iÅŸaretine de koyunları birbirine katma manasını yüklese, sonra da “5 koyun, 7 koyun daha, 12 koyun yapar” dese biz bunu bir mucize olarak karşılarız.

“Bizim kendi kafamızda tanımlayıp yaptığımız bir iÅŸlemin meÄŸer dünyada tam karşılığı varmış” deriz. Hele bu kiÅŸi: “5 taÅŸ, 7 taÅŸ daha, 12 taÅŸ yapar” derse meselenin koyunlardan ibaret olmadığını kâinattaki bir hakikati ifade ettiÄŸini anlarız. Zihinlerde rahatlıkla anlaşılması için, bu misali verdik. Aynı ÅŸekilde matematikteki çok karmaşık bir teorinin kâinatta karşılığının olduÄŸunu görünce, bu beklenmedik hadise karşısında ÅŸaÅŸkınlığa düÅŸeriz.

Ünlü fizikçi Paul Davies’in ifadesiyle eÄŸer biz farklı fizik kurallarının geçerli olduÄŸu bir kâinatta yaÅŸasaydık, mesela sayılabilir nesnelerin olmadığı bir mekânda, bugün yaptığımız pek çok hesaplamayı yapamazdık. Bunu açıklayıcı mahiyette Oxford fizik-matematikçisi David Deutsch, saymanın tecrübeyle ortaya çıkan bir özellik olduÄŸunu, yani belli mantık kurallarının haricinde dünyadaki mevcudatın durumundan kaynaklandığını belirtiyor. “Zihnimizde ÅŸekillenen aritmetiÄŸi yapabilmemizin tek sebebi, fizik kanunlarının aritmetiÄŸe uygun fizik modellerinin mevcudiyetine müsaade etmeleridir” demektedir.

Einstein’dan sonra en büyük fizikçi olarak kabul edilen Richard Feynman, matematiÄŸin varlığı hakkında ÅŸunları söylüyor: “Varlık problemi çok ilginç ve çok zor bir problem. EÄŸer matematik yapıyorsanız, sayıların küplerini toplayınca çok ilginç bir özellik keÅŸfedersiniz. Birin kübü 1, ikinin kübü 8 ve üçün kübü 27’dir. Bu sayıları toplarsanız 36 sayısını bulursunuz. 1,2 ve 3’ün toplamı 6, 6’nın karesi ise 36’dır. Bu sayılara 4’ü eklerseniz ki, 4’ün kübü 64’tür, küplerinin toplamı 100 yapar. Bu sayıların toplamı ise 10’dur. GörüldüÄŸü gibi 100, 10’nun karesidir. Bu özelliÄŸin bütün sayılar için geçerli olduÄŸunu ispatlayabiliyoruz. Bu özelliÄŸi daha önceden bilmiyor olabilirsiniz. Böyle ÅŸeyleri keÅŸfettiÄŸiniz zaman bunların sizin keÅŸfinizden önce de var olduÄŸunu hissediyor ve bir ÅŸekilde bir yerlerde var olduÄŸunu düÅŸünüyorsunuz. Ama nerede vardı? Onların mevcudiyeti için tabii ki bir mekân tayin edemeyiz. Sadece mücerret (soyut) bir kavram olarak hissediyoruz.”

{tab=Feynman formülü}
Feynman’ın en çok ilgisini çeken formül ise;

e ip +1=0

formülü... Feynman not defterinden bir sayfayı bu formüle ayırmış. Sayfanın ortasında, neredeyse sayfanın yarısını kaplayacak kadar büyük harflerle bu formülü yazmış, yukarısına da büyük harflerle “Ä°ÅŸte matematikteki en kayda deÄŸer formül” notunu düÅŸmüÅŸ. Peki, bu formülü kayda deÄŸer kılan ÅŸey ne? “e” sayısı “Logaritma”dan geliyor; logaritması “ 1” olan sayı. “p ” (pi) sayısı da “Geometri”den, bir çemberin çevresinin çapına oranı. “i” sayısı ise tamamen baÅŸka bir dünyadan “Karmaşık Sayı Sisteminden geliyor; karesi (-1) olan sayı. “1”i bilmeyen yok, “ 0” ise, onsuz matematiÄŸin olamayacağı bir sayı. Bu sayıların hepsi matematiÄŸin en meÅŸhur sayıları ve her biri matematiÄŸin birbirinden tamamen alâkasız konularında karşımıza çıkıyor. Araya baÅŸka bir araç koymadan bu sayıları birbirleriyle alâkalandıran yukarıdaki formül karşısında hayranlığını belirten Feynman bu konuda pek haksız sayılmaz.

Bugün sayılarla ilgili dünya kadar özellik ortaya çıkarılmış durumda. Bu özelliklerin doÄŸruluÄŸu bizim keÅŸfetmemizle baÅŸlamadı, onlar daha önce de doÄŸruydu. Tıpkı suyun, ArÅŸimet’in keÅŸfinden önce de nesneleri kaldırması gibi.

Bu hususta büyük fizikçi Heinrich Herzt: “Hiç kimse bulunan matematik formüllerinin bizden bağımsız olarak var oldukları hissinden kurtaramaz kendini” diyorsa da, bulduÄŸumuz formüllerin bizden önce de var olduklarını biliyoruz. Ancak Feynman’ın ifadesiyle bunlara bir mekân tayin edemiyoruz. Matematikçi Rudy Rucker, bildiÄŸimiz fizik uzayının haricinde bir de “Zihin Uzayı” (Mindscope) diyebileceÄŸimiz bir uzayın mevcudiyetini, fizikçilerin fizik uzayını araÅŸtırması gibi matematikçilerin de bu zihin uzayını araÅŸtırdığını savunarak matematikteki gerçekler için soyut bir mekân tayin etmiÅŸ oluyor.

{tab=Eflatuncu Gödel  }
ÇoÄŸu seçkin matematikçi, Eflatuncu’dur. Bunlardan biri Kurt Gödel’dir. Gödel’in çalışmalarından önce matematiÄŸin tamamen bir biçim çalışması, bir kümedeki sembollerle diÄŸer bir kümedeki semboller arasında kurulan bir mantık kuralları topluluÄŸu ve insan beyninin bir fonksiyonu olduÄŸuna inanmak mümkündü. Ancak Gödel çalışmalarıyla daha farklı bir ÅŸekilde düÅŸünmemizi saÄŸladı. Gödel’in çalışmalarının en önemli kısmını ÅŸu ÅŸekilde özetleyebiliriz:

Matematik ne kadar gelişirse gelişsin, mevcut aksiyomlarla doğruluğu ispatlanamayan, fakat doğru olan, matematik ifadeleri her zaman vardır.

Böylece biz ispatlamadan önce bazı gerçeklerin varlığını kabul etmiÅŸ oluyoruz ki, bu bizi Eflatunculuk düÅŸüncesine sürükler.

{tab=Eflatuncu Penrose ve fraktal}

Bir diÄŸer Eflatuncu, ünlü Oxford matematikçisi Roger Penrose’dur. “Bu matematiÄŸe ait kavramlarda matematikçilerin düÅŸüncelerinin ötesinde cereyan eden bazı derin hakikatler var. Ä°nsan düÅŸüncesi var olan bu ebedi hakikatlere yönlendiriliyor ve bunlar herhangi birimiz tarafından matematiÄŸe ait bir gerçek olarak ortaya çıkarılıyor.”

Mesela; kompleks sayılar. Penrose, kompleks sayıların “çok derin ve zaman üstü” bir gerçek olduÄŸunu insanların ise tarihin belli bir devresinden sonra bu sistemi keÅŸfettiÄŸini belirtiyor. Penrose’u Eflatuncu olmaya zorlayan ikinci sebep ise “Mandelbrot kümesi”dir. Bu küme insanı hayrete düÅŸürecek derecede enteresan olan “fraktal” dediÄŸimiz geometrik bir ÅŸekildir.

Bu ÅŸekil ÅŸöyle elde edilir.

Herhangi bir Z karmaşık sayısını alıyoruz, C bir karmaşık sayı olmak üzere Z’nin karesine C eklemek suretiyle yeni bir sayı elde ediyoruz.

Bu yeni sayının karesine C ekleyerek baÅŸka bir sayı buluyoruz ve bu iÅŸleme sürekli devam ediyoruz. Bilgisayar ekranındaki her nokta için bu iÅŸlemi yapınca, bazı noktaların belli bir basamaktan sonra 4 birim yarıçaplı çemberin dışına çıktığını görüyoruz.

Her nokta kaçıncı adımdan sonra çemberin dışına çıkıyorsa o sayıya o noktanın özel sayısı diyelim.

Bu özel sayıları renklerle eÅŸleÅŸtirebiliriz. Mesela sıradan bir bilgisayarda özel sayısı tek sayı olan noktaları beyaza, çift sayı olan noktaları siyaha boyayarak siyah beyaz bir görüntü elde edebiliriz. Veya daha geliÅŸmiÅŸ bilgisayarlarla daha renkli görüntüler elde edebilirsiniz.

Bu görüntünün özelliÄŸi sürekli kendini tekrarlamasıdır. Herhangi küçük bir kesitini alıp büyütürsek ilk baÅŸtaki ÅŸekli elde edebiliriz. Hiçbir bilgisayar, ekrandaki her nokta için bu iÅŸlemi yapamaz. Sadece ekrandaki piksel dediÄŸimiz her küçük kare içinden bir nokta alıp deneyerek o karenin rengini tayin eder. Buna dayanarak Penrose: “Mandelbrot kümesinin ÅŸeklini hiçbir zaman tam olarak anlayamıyor ve çizemiyoruz. Daha geliÅŸmiÅŸ bilgisayarlar kullanarak her seferinde biraz daha iyi anlamaya çalışıyoruz. Anlayamadığımız bu küme insan beyninin bir ürünü olamaz. Bu küme bizden bağımsız olarak vardır. Everest tepesi gibi... Biz onu keÅŸfettik” diyor.

{tab=Fibonacci ve altın oran}

Ünlü matematikçi Leonardo Fibonacci’nin ortaya attığı Fibonacci dizisini bilmeyen yoktur. Bu dizi 1,1, 2,3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ÅŸeklinde devam etmektedir. Dizinin her terimi kendinden önceki iki terimin toplamına eÅŸittir. AyçiçeÄŸinde bulunan çekirdeklerin oluÅŸturduÄŸu spiralleri sayınca saat yönünde olanların 55, saatin ters yönünde olanların ise 89 tane olduÄŸunu görüyoruz. Her iki sayı da Fibonacci dizisinin birbirini takip eden terimleridir. Bu sayılar ayçiçeklerinin çeÅŸitlerine göre deÄŸiÅŸmektedir.

Mesela küçük baÅŸaklı bir çeÅŸidin spirallerini sayınca 34 ve 55 sayılarını elde edebilirsiniz, veya büyük baÅŸaklı bir çeÅŸit size 89 ve 144 sayılarını verebilir. Ancak deÄŸiÅŸmeyen bir ÅŸey var, bu sayıların hepsi Fibonacci dizisinin ardışık iki terimini veriyor.

Çam kozalağında ise spirallerin sayısı 8’e 5’tir. Aynı sayıların tütün yapraklarının diziliÅŸinde de karşımıza çıktığını görüyoruz.

Bir baÅŸka hayret uyandırıcı özellik de, çiçeklerin taçyapraklarının sayısında karşımıza çıkıyor. Zambakta 3, düÄŸün çiçeÄŸinde 5, kadife çiçeÄŸinde 13, yıldız çiçeÄŸinde 21 ve papatyalarda türüne göre 34, 55 veya 89 tane taç yaprak bulunuyor. EÄŸer ayçiçeÄŸinin veya çam kozalağının DNA’sı spirallerinin sayısı için ve diÄŸer çiçeklerin DNA’sı da taç yaprakların sayısı için, rastgele sayılar tayin etti ise; niçin bu sayılar, Fibonacci dizisinin elemanlarına denk geliyor? Fibonacci sayıları nasıl oldu da bu güzel çiçeklerin taç yapraklarına iÅŸlendi? Acaba insan gözüne daha hoÅŸ görünmesi için mi gerekliydi?

Fibonacci dizisinin peÅŸpeÅŸe gelen terimlerinin oranı “altın oran” dediÄŸimiz:
(kök5-1)/2 sayısına yaklaşıyor

ve bu oran klasik sanatta insan gözüne en hoÅŸ görünen oran olarak biliniyor. Ya çiçeklerin matematikten de, insanın göz zevkinden de anladığını iddia edeceksiniz veya bu ikisinden de anlayan gizli bir elin iÅŸlediÄŸini düÅŸüneceksiniz. Çiçeklerdeki bu beklenmedik özellik gösteriyor ki, Fibonacci her ne kadar bu diziyi kendi kafasından çıkardıysa da, aslında zaten var olan bir diziyi keÅŸfetmiÅŸtir. Hem de sadece mücerret dünyada deÄŸil, müÅŸahhas dünyada dahi misalleri bulunan bir diziyi. .

{/tabs} 

Bayram Yenikaya

<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HÄ°PERBOLÄ°K UZAY
FOTO MATEMATÄ°K
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARÄ°KATÃœR
M.C.Escher galeri
MATEMATÄ°K KÄ°TABI
MATEMATÄ°K FÄ°LMÄ°