gg arrow Matematik makaleleri arrow Fibonacci, arılar, tohumlar, kozalaklar
Fibonacci, arılar, tohumlar, kozalaklar Yazdır E-Posta

    Ä°nsanın merakını en fazla celbeden sayı dizilerinden birisi “Fibonnaci” dizisidir. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21, 34, ... Fn, ... sonsuz dizisinden oluÅŸan bu set (sayı dizisi) ilk önce 13. yy. baÅŸlarında, aynı zamanda Fibonnaci olarak da bilinen Ä°talyan matematikçisi Piza’lı Leonardo, çözümü bu diziyi doÄŸuran bir bilmece yayınladığı zaman ortaya çıkmıştır.

..... Fibonnaci sayıları, birçok bitki türünün tohumlarının düzenlenmesinde ve çeÅŸitli çiçeklerin yaprak sayılarında bir kere daha ve belki de daha esrarlı bir tarzda ortaya çıkmaktadır. .......

Bu dizinin belli bir kaideye göre oluÅŸturulduÄŸu açıktır, çünkü dizinin her terimi, ilk iki terim dışında, kendisinden hemen önce gelen iki terimin toplanmasıyla bulunmaktadır. Böylece, dizinin herhangi bir terimi, F1 = 1 ve F2 = 1 verildikten sonra, n. terimi Fn = Fnl + Fn2 rekürans formülüyle ifade edilebilmektedir. Mamafih, Fn ile daha önce gelen terimler arasındaki bu alaka, Leonardo’nun ortaya attığı bilmecenin çözümünün anlaşılabilmesi için gerekli deÄŸildir.

Öyle görülmektedir ki, gerek Leonardo’nun kendisi, gerekse 1600’lara kadar öteki matematikçiler bu alakayı fark edememiÅŸlerdir.

Fibonnaci sayıları kâinattaki birçok hadiselerle alakalı gözükmektedir. Bu sayılar, organizmaların yapısı ve hayat sürelerinden klasik estetik teorilerine kadar pek çok olaÄŸanüstü ve beklenmedik yerlerde ortaya çıkmakta ve bulunan her yeni alakayla birlikte yeni yeni sorular ortaya çıkararak, dinamik ve cazip bir araÅŸtırma sahası olmaya devam etmektedir.

ERKEK BALARILARININ JENEOLOJÄ°SÄ°
Fibonnaci sayılarının en çarpıcı hususiyetlerinden birisi, kâinatta tekrar tekrar karşımıza çıkmalarıdır. Böyle bir misal, erkek bal arısının (Apis Mellifera) jeneolojisinin ya da tabii geçmiÅŸinin tespit edilmesinde görülebilir. Bal arıları toplumunda nevin diÅŸisi hâkimdir; döllenmiÅŸ bütün arı yumurtaları diÅŸi arı çıkarırlar ve bu diÅŸi anlar ya iÅŸçi anılar arasında yer alır, ya da, hususi bir beslenme süresinde, melike arı olurlar. Erkek arı, ya da “drone”, daha aÅŸağı hayat biçimlerinde yaygın bir üreme çeÅŸidi olan, döllenmemiÅŸ yumurtalardan çıkarlar. Yani, erkek arıların babası yoktur.

Bu bilgilerden hareket ederek, bir jeneolojik tablo ya da aile aÄŸacı hazırlayarak erkek arının ceddi, geçmiÅŸte arzu edilen herhangi bir nesile kadar tespit edilebilir.

Her “M”, sadece diÅŸi bir ebeveyni olan erkek bir arıyı temsil etmektedir. Her “F” melike bir arıyı temsil eder ve tabii olarak, bir diÅŸi ve bir erkek ebeveyne sahiptir. Tablo büyüdükçe ve ataların sayısı hesaplandıkça açıkça görülmektedir ki, erkek arı, her nesilde, bir Fibonnaci sayısına tekabül eden miktarda erkek, diÅŸi ve toplam ataya sahiptir. (ÅžEKÄ°L: 1)

TOHUMLARIN DÜZENLENMESÄ° VE YAPRAK SAYILARI
Fibonnaci sayıları, birçok bitki türünün tohumlarının düzenlenmesinde ve çeÅŸitli çiçeklerin yaprak sayılarında bir kere daha ve belki de daha esrarlı bir tarzda ortaya çıkmaktadır.

Asteraceae (çiçek açan bitkilere verilen umumi ad) bütün dünya üzerine yayılmış yaklaşık 930 genera’dan ve 20.000 neviden oluÅŸur. Bu aileye dâhil bitkilerin çiçek açan kafaları, floret (çiçekçik) adı verilen pek çok küçük çiçekten meydana gelen merkezi disklere sahiptir; bu floretler, diskler üzerinde belli bir nizamı oluÅŸturacak ÅŸekilde yerleÅŸtirilmiÅŸlerdir. Bu ailenin bir ferdi olan ayçiçeÄŸi ( ÅžEKÄ°L: 2) 12 feet (fit) yüksekliÄŸe kadar büyüyebilir ve çapı bir fitin üstünde kafalar yetiÅŸtirebilir. AyçiçeÄŸinin diskinin üstündeki floretler olgunlaşıp tohum haline geldiÄŸinde, kafa üzerinde spiral bir ÅŸekilde düzenlendikleri kolayca görülebilir. Tipik bir kafadaki, spiraller sayıldığında, saÄŸa doÄŸru keskin bir ÅŸekilde bükülen 89, daha yumuÅŸak bir ÅŸekilde sola kıvrılan 55 ve yine yavaÅŸça saÄŸa kıvrılan 34 spiral görülebilir. Bilinen en büyük misalde spiral sayıları 144 saÄŸa, 89 sola ve 55 saÄŸa idi. Her iki misaldeki bu sayıların önemi, onların “Fibonnaci” dizisinin artarda gelen terimleri olmasındandır. Bazı papatya türlerinin disk floretlerinde de 34 saÄŸ ve 21 sol spiral gözlenmektedir ki, bunlarda peÅŸ peÅŸe gelen “Fibonnaci” sayılarıdır. Bu tohum düzenlemeleri, kâinatta cari olan kanunlardan deÄŸilse de hayret verici bir ÅŸekilde ısrarla karşımıza çıkmaktadır, bu hal ise yaratıcının mülkünde dilediÄŸi gibi tasarruf ettiÄŸini gösteren bir delildir.

BirleÅŸik kafalarında ki, halk dilinde yaprak adı verilen ve merkezi diski çevreleyen yapılar, aslında kemer biçiminde floretlerdir. Her kafa üzerinde bu floretlerin sayısı, tutarlı umum bir ÅŸekilde bir “Fibonnaci” sayısı, ya da bir “Fibonnaci” sayısına çok yakın bir rakam vermektedir. Böylece, papatya yapraklarını teker teker kopararak ‘geçtim mi- kaldım mı’ oyunu oynayan bir talebe, büyük bir ihtimalle, cevabını almak için 21, 34, 55 veya 89 yaprak koparacaktır. Asteraceae’nin üyeleri dışında, gerçek yapraÄŸa sahip birtakım birleÅŸik olmayan çiçek açıcı bitkilerde de yaprak sayısı, “Fibonnaci” sayılarına tekabül etmektedir.

ÇAM KOZALAKLARI VE ANANASLAR
Çam kozalağının ana gövdesini oluÅŸturan, pula benzer yapılar olan “bract”lar, çok kısa bir sap üzerine sıkıştırılmış, deÄŸiÅŸikliÄŸe uÄŸramış (modifiye edilmiÅŸ) yapraklar olarak düÅŸünülmektedir. AyçiçeÄŸi kafalarındaki tohumlar gibi, “bract”lar da, kozalağın dala asıldığı noktadan baÅŸlar bir dizi spiral oluÅŸturmaktadır. Birbirine ters yönde, biri dik, öteki daha az dik, iki dizi spiral müÅŸahede edilmektedir. Dik spirallerin sayısı bir “Fibonnaci’ sayısını, daha az dik olanların sayısı da umumiyetle ondan bir küçük “Fibonnaci” sayısını veya iki küçük “Fibonnaci” sayısını vermektedir. Kaliforniya’da büyüyen 10 çam neyine ait 4290 kozalakta yapılan bir incelemede sadece 74 kozalağın, yani % L7’sinin “Fibonnaci” sayılarından farklı olduÄŸu görülmüÅŸtür ki, bu da bu rakamların ne kadar yaygın bir ÅŸekilde ortaya çıktığı mevzuunda bir fikir verebilir. Buna benzer “Fibonnaci” sayıları, diken yapraklı öteki aÄŸaç nevilerinin kozalaklarında da bulunmuÅŸtur.

Ananas ise buna ait bir baÅŸka misal teÅŸkil etmektedir. Çam kozalaklarının bract’ları gibi ananas pulları da spiral ÅŸekilde düzenlenmiÅŸlerdir ve biçimleri kabaca altıgen olduÄŸundan, üç ayrı dizi spiral görülebilir. 2000 ananasın incelendiÄŸi bir araÅŸtırmada “Fibonnaci” sayılarından ayrılan hiçbir ananas bulunmadı; her ananastaki her spiral dizisinin sayısı bir “Fibonnaci” sayısına tekabül ediyordu.

FÄ°LOTAKSÄ° (PHYLLOTAXY)
Bitkilerin dalları ya da sapları üzerinde yaprakların düzenlenmesi olan fılotaksi, riyazî mükemmelliÄŸi ilk defa 17. yy.da yaÅŸamış astronum Johannes Kepler’in ilgisini çekmiÅŸ bir botanik vakıadır. Yakın geçmiÅŸte yapılan incelemeler, bunun, Fibonnaci” dizisindeki sayıların kâinatta görüldüÄŸü bir baÅŸka misal olduÄŸunu ortaya koymuÅŸtur. Bir meÅŸe dalını ele alalım. “0”numaralı yapraktan baÅŸlayarak yukarı doÄŸru yaprakları numaralandıralım ve bu muameleyi baÅŸlangıç noktasının tam üstüne gelen bir yaprak buluncaya kadar sürdürelim. MeÅŸe için bulunan rakam, hemen hemen hiç istisnasız, 2’dir, yani bir “Fibonnaci” sayısı. Bundan baÅŸka, baÅŸlangıç noktasının tam üstüne gelen noktaya ulaÅŸmak için, dalın etrafında bir tam dönüÅŸ yapmak gerekmektedir ki, bu da bir “Fibonnaci” sayısıdır.

Bu fılotaktik sayılar çoÄŸu defa, dönüÅŸ sayısının yaprak sayısına oranı olarak ifade edilir. Böylece, meÅŸe için bu oran 1/2 dir. Kiraz aÄŸacında ise, baÅŸlangıç noktasının tam üstünde bir yaprak bulmak için 5 yaprak saymak ve 2 dönüÅŸ yapmak gerekir; Oran 2/5 olur. Aynı muamele armut aÄŸacında tekrarlanırsa, 3/8 bulunur. (Åžekil: 3)

Her durumda oran “Fibonnaci” sayılarından meydana gelmektedir. Tahmini sayıları 250.000 nevi bulan çiçek açıcı, tohum oluÅŸturucu bitkilerin ve 700 çiçek açmayan bitkinin incelenmesi, üstesinden gelmesi zor bir iÅŸtir. Fakat bugüne kadar ede edilen (ortalama) neticeler, nevilerin ezici bir çoÄŸunluÄŸunda ‘Fibonnaci” sayıları ile alakalı filotaktik oranlar ortaya çıkarmıştır. “Fibonnaci” sayılarına uygun olmayan oranlar çok ender ve ancak bitkiye verilen bir zarar ya da anormal bir büyüme, yaprakların düzenlenmesinde bir deÄŸiÅŸiklik meydana getirmiÅŸse görülmektedir.

A. KEMERLÄ°

<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HÄ°PERBOLÄ°K UZAY
FOTO MATEMATÄ°K
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARÄ°KATÃœR
M.C.Escher galeri
MATEMATÄ°K KÄ°TABI
MATEMATÄ°K FÄ°LMÄ°