mm arrow Matematik makaleleri arrow Fibonacci, arılar, tohumlar, kozalaklar
Fibonacci, arılar, tohumlar, kozalaklar Yazdır E-Posta

    İnsanın merakını en fazla celbeden sayı dizilerinden birisi “Fibonnaci” dizisidir. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21, 34, ... Fn, ... sonsuz dizisinden oluşan bu set (sayı dizisi) ilk önce 13. yy. başlarında, aynı zamanda Fibonnaci olarak da bilinen İtalyan matematikçisi Piza’lı Leonardo, çözümü bu diziyi doğuran bir bilmece yayınladığı zaman ortaya çıkmıştır.

..... Fibonnaci sayıları, birçok bitki türünün tohumlarının düzenlenmesinde ve çeşitli çiçeklerin yaprak sayılarında bir kere daha ve belki de daha esrarlı bir tarzda ortaya çıkmaktadır. .......

Bu dizinin belli bir kaideye göre oluşturulduğu açıktır, çünkü dizinin her terimi, ilk iki terim dışında, kendisinden hemen önce gelen iki terimin toplanmasıyla bulunmaktadır. Böylece, dizinin herhangi bir terimi, F1 = 1 ve F2 = 1 verildikten sonra, n. terimi Fn = Fnl + Fn2 rekürans formülüyle ifade edilebilmektedir. Mamafih, Fn ile daha önce gelen terimler arasındaki bu alaka, Leonardo’nun ortaya attığı bilmecenin çözümünün anlaşılabilmesi için gerekli değildir.

Öyle görülmektedir ki, gerek Leonardo’nun kendisi, gerekse 1600’lara kadar öteki matematikçiler bu alakayı fark edememişlerdir.

Fibonnaci sayıları kâinattaki birçok hadiselerle alakalı gözükmektedir. Bu sayılar, organizmaların yapısı ve hayat sürelerinden klasik estetik teorilerine kadar pek çok olağanüstü ve beklenmedik yerlerde ortaya çıkmakta ve bulunan her yeni alakayla birlikte yeni yeni sorular ortaya çıkararak, dinamik ve cazip bir araştırma sahası olmaya devam etmektedir.

ERKEK BALARILARININ JENEOLOJİSİ
Fibonnaci sayılarının en çarpıcı hususiyetlerinden birisi, kâinatta tekrar tekrar karşımıza çıkmalarıdır. Böyle bir misal, erkek bal arısının (Apis Mellifera) jeneolojisinin ya da tabii geçmişinin tespit edilmesinde görülebilir. Bal arıları toplumunda nevin dişisi hâkimdir; döllenmiş bütün arı yumurtaları dişi arı çıkarırlar ve bu dişi anlar ya işçi anılar arasında yer alır, ya da, hususi bir beslenme süresinde, melike arı olurlar. Erkek arı, ya da “drone”, daha aşağı hayat biçimlerinde yaygın bir üreme çeşidi olan, döllenmemiş yumurtalardan çıkarlar. Yani, erkek arıların babası yoktur.

Bu bilgilerden hareket ederek, bir jeneolojik tablo ya da aile ağacı hazırlayarak erkek arının ceddi, geçmişte arzu edilen herhangi bir nesile kadar tespit edilebilir.

Her “M”, sadece dişi bir ebeveyni olan erkek bir arıyı temsil etmektedir. Her “F” melike bir arıyı temsil eder ve tabii olarak, bir dişi ve bir erkek ebeveyne sahiptir. Tablo büyüdükçe ve ataların sayısı hesaplandıkça açıkça görülmektedir ki, erkek arı, her nesilde, bir Fibonnaci sayısına tekabül eden miktarda erkek, dişi ve toplam ataya sahiptir. (ŞEKİL: 1)

TOHUMLARIN DÜZENLENMESİ VE YAPRAK SAYILARI
Fibonnaci sayıları, birçok bitki türünün tohumlarının düzenlenmesinde ve çeşitli çiçeklerin yaprak sayılarında bir kere daha ve belki de daha esrarlı bir tarzda ortaya çıkmaktadır.

Asteraceae (çiçek açan bitkilere verilen umumi ad) bütün dünya üzerine yayılmış yaklaşık 930 genera’dan ve 20.000 neviden oluşur. Bu aileye dâhil bitkilerin çiçek açan kafaları, floret (çiçekçik) adı verilen pek çok küçük çiçekten meydana gelen merkezi disklere sahiptir; bu floretler, diskler üzerinde belli bir nizamı oluşturacak şekilde yerleştirilmişlerdir. Bu ailenin bir ferdi olan ayçiçeği ( ŞEKİL: 2) 12 feet (fit) yüksekliğe kadar büyüyebilir ve çapı bir fitin üstünde kafalar yetiştirebilir. Ayçiçeğinin diskinin üstündeki floretler olgunlaşıp tohum haline geldiğinde, kafa üzerinde spiral bir şekilde düzenlendikleri kolayca görülebilir. Tipik bir kafadaki, spiraller sayıldığında, sağa doğru keskin bir şekilde bükülen 89, daha yumuşak bir şekilde sola kıvrılan 55 ve yine yavaşça sağa kıvrılan 34 spiral görülebilir. Bilinen en büyük misalde spiral sayıları 144 sağa, 89 sola ve 55 sağa idi. Her iki misaldeki bu sayıların önemi, onların “Fibonnaci” dizisinin artarda gelen terimleri olmasındandır. Bazı papatya türlerinin disk floretlerinde de 34 sağ ve 21 sol spiral gözlenmektedir ki, bunlarda peş peşe gelen “Fibonnaci” sayılarıdır. Bu tohum düzenlemeleri, kâinatta cari olan kanunlardan değilse de hayret verici bir şekilde ısrarla karşımıza çıkmaktadır, bu hal ise yaratıcının mülkünde dilediği gibi tasarruf ettiğini gösteren bir delildir.

Birleşik kafalarında ki, halk dilinde yaprak adı verilen ve merkezi diski çevreleyen yapılar, aslında kemer biçiminde floretlerdir. Her kafa üzerinde bu floretlerin sayısı, tutarlı umum bir şekilde bir “Fibonnaci” sayısı, ya da bir “Fibonnaci” sayısına çok yakın bir rakam vermektedir. Böylece, papatya yapraklarını teker teker kopararak ‘geçtim mi- kaldım mı’ oyunu oynayan bir talebe, büyük bir ihtimalle, cevabını almak için 21, 34, 55 veya 89 yaprak koparacaktır. Asteraceae’nin üyeleri dışında, gerçek yaprağa sahip birtakım birleşik olmayan çiçek açıcı bitkilerde de yaprak sayısı, “Fibonnaci” sayılarına tekabül etmektedir.

ÇAM KOZALAKLARI VE ANANASLAR
Çam kozalağının ana gövdesini oluşturan, pula benzer yapılar olan “bract”lar, çok kısa bir sap üzerine sıkıştırılmış, değişikliğe uğramış (modifiye edilmiş) yapraklar olarak düşünülmektedir. Ayçiçeği kafalarındaki tohumlar gibi, “bract”lar da, kozalağın dala asıldığı noktadan başlar bir dizi spiral oluşturmaktadır. Birbirine ters yönde, biri dik, öteki daha az dik, iki dizi spiral müşahede edilmektedir. Dik spirallerin sayısı bir “Fibonnaci’ sayısını, daha az dik olanların sayısı da umumiyetle ondan bir küçük “Fibonnaci” sayısını veya iki küçük “Fibonnaci” sayısını vermektedir. Kaliforniya’da büyüyen 10 çam neyine ait 4290 kozalakta yapılan bir incelemede sadece 74 kozalağın, yani % L7’sinin “Fibonnaci” sayılarından farklı olduğu görülmüştür ki, bu da bu rakamların ne kadar yaygın bir şekilde ortaya çıktığı mevzuunda bir fikir verebilir. Buna benzer “Fibonnaci” sayıları, diken yapraklı öteki ağaç nevilerinin kozalaklarında da bulunmuştur.

Ananas ise buna ait bir başka misal teşkil etmektedir. Çam kozalaklarının bract’ları gibi ananas pulları da spiral şekilde düzenlenmişlerdir ve biçimleri kabaca altıgen olduğundan, üç ayrı dizi spiral görülebilir. 2000 ananasın incelendiği bir araştırmada “Fibonnaci” sayılarından ayrılan hiçbir ananas bulunmadı; her ananastaki her spiral dizisinin sayısı bir “Fibonnaci” sayısına tekabül ediyordu.

FİLOTAKSİ (PHYLLOTAXY)
Bitkilerin dalları ya da sapları üzerinde yaprakların düzenlenmesi olan fılotaksi, riyazî mükemmelliği ilk defa 17. yy.da yaşamış astronum Johannes Kepler’in ilgisini çekmiş bir botanik vakıadır. Yakın geçmişte yapılan incelemeler, bunun, Fibonnaci” dizisindeki sayıların kâinatta görüldüğü bir başka misal olduğunu ortaya koymuştur. Bir meşe dalını ele alalım. “0”numaralı yapraktan başlayarak yukarı doğru yaprakları numaralandıralım ve bu muameleyi başlangıç noktasının tam üstüne gelen bir yaprak buluncaya kadar sürdürelim. Meşe için bulunan rakam, hemen hemen hiç istisnasız, 2’dir, yani bir “Fibonnaci” sayısı. Bundan başka, başlangıç noktasının tam üstüne gelen noktaya ulaşmak için, dalın etrafında bir tam dönüş yapmak gerekmektedir ki, bu da bir “Fibonnaci” sayısıdır.

Bu fılotaktik sayılar çoğu defa, dönüş sayısının yaprak sayısına oranı olarak ifade edilir. Böylece, meşe için bu oran 1/2 dir. Kiraz ağacında ise, başlangıç noktasının tam üstünde bir yaprak bulmak için 5 yaprak saymak ve 2 dönüş yapmak gerekir; Oran 2/5 olur. Aynı muamele armut ağacında tekrarlanırsa, 3/8 bulunur. (Şekil: 3)

Her durumda oran “Fibonnaci” sayılarından meydana gelmektedir. Tahmini sayıları 250.000 nevi bulan çiçek açıcı, tohum oluşturucu bitkilerin ve 700 çiçek açmayan bitkinin incelenmesi, üstesinden gelmesi zor bir iştir. Fakat bugüne kadar ede edilen (ortalama) neticeler, nevilerin ezici bir çoğunluğunda ‘Fibonnaci” sayıları ile alakalı filotaktik oranlar ortaya çıkarmıştır. “Fibonnaci” sayılarına uygun olmayan oranlar çok ender ve ancak bitkiye verilen bir zarar ya da anormal bir büyüme, yaprakların düzenlenmesinde bir değişiklik meydana getirmişse görülmektedir.

A. KEMERLİ

<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HİPERBOLİK UZAY
FOTO MATEMATİK
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARİKATÜR
M.C.Escher galeri
MATEMATİK KİTABI
MATEMATİK FİLMİ