Dün bu satırlarda ülkeyi saran 'Nash salgını' esnasında Nash ile ilgili her ÅŸeyin yazılıp, çizilip konuÅŸulduÄŸunu, ama Nash'in bilimsel katkısının ülkemizde üvey çocuk muamelesi gördüÄŸünü, pek tartışılmadığını vurgulamış ve katkısını anlatmak için bir örnek vermiÅŸtik. 

Oyun teorisinin temelleri 1928 yılında John von Neumman adlı Macar asıllı matematikçinin ispatladığı minimax teoremi ile atılmıştı. Von Neumann 1931 yılında Almanya'dan ABD'ye göç sonrası Princeton Üniversitesi'ne gelmiÅŸ, 1938 yılında kendisi de Avusturya'dan göç etmiÅŸ iktisatçı Oscar Morgenstern ile orada buluÅŸmuÅŸ ve oyun teorisinin ekonomik uygulamalarını 1944 yılında beraberce yazdıkları 'The Theory of Games and Economic Behavior' adlı kitapla gündeme getirmiÅŸlerdi. Von Neumann atom bombasından bilgisayara kadar bir sürü ÅŸeyin yaratılmasına önemli katkılar yapmış bir dahi matematikçi idi.

Nash ise 1948 yılında Princeton Üniversitesi'ne bir öÄŸrenci olarak geldiÄŸinde orada bulunan Einstein, von Neumann gibi ÅŸöhretli bilim adamlarının ve matematikçilerin ortasına düÅŸmüÅŸ, onlarla yüz yüze gelmiÅŸ ve konuÅŸmuÅŸtu. Von Neumann ile de oyun teorisi konusunda 1949 yılında atışmıştı, von Neumann onu ciddiye almamıştı. Bu atışma sonrasında ise, Nash 1950 yılında sonraları kendisine Nobel getiren 'oyunlarda denge' teoremini bulmuÅŸtu. Von neumann ve Morgenstern kooperasyonun olduÄŸu sınırlı tip oyunlarla daha çok ilgilenirken (zero sum oyunlar), Nash kooperasyonun olmadığı ve çok sayıda oyuncunun olduÄŸu çok daha genel ortamlarda en azından bir adet Nash dengesi bulunduÄŸunu Brouwer'in 'fix nokta' teoremlerini 1941 yılında genelleÅŸtiren Kakutani'ye dayanarak ispatlamıştı. Bu büyük bir katkı idi. Ä°yi de Nash dengesi ne demekti?

Dün bu satırlarda verdiÄŸimiz örneÄŸi tekrar buraya alıyoruz. Farzedelim ki bir karı koca birbirlerinden keyif almakta ve beraber musmutlu yaÅŸamakta, ama evden çıkıp baÅŸka faaliyetler yaptıkları zaman da zevkleri farklı. Diyelim ki koca boÅŸ zamanında evde futbol maçı seyretmeyi seviyor. EÅŸ ise lokantada dostlar ile yemek yemeyi. Bir gece karı koca karar verecekler, evde kalıp futbol maçı mı seyredilsin, yoksa dostlarla kafa çekmeye mi gidilsin. Åžimdi bu ortamda karı ve kocanın çeÅŸitli kararlardan aldıkları hazzı rakamsal olarak verelim (sorgula, bu mümkün mü?)!

AÅŸağıdaki tabloda karı ve kocanın haz rakamları (!) verilirken, her hücrede ilk rakam kocanın keyfi, ikinci rakam karının keyfi. Tabloda alternatifler 'evde maç' veya 'lokantada keyif' olarak basit ÅŸekilde yazılmış.

Åžimdi karı koca karar verecekler. Evde maç mı seyredilsin, yoksa lokantaya mı gidilsin? Tarafların canım-cicim yaklaşımları arasında gizlenmiÅŸ stratejileri ve oyuncuklar da var! Mesela içinde (10.5) yazılı hücrede koca 10 keyif, eÅŸ 5 keyif alıyor. Evde maç seyredilirse koca mutlu, ama eÅŸ (4.8) yazılı hücrede alabileceÄŸi 8 keyiften daha az keyif almış olacak.

Ä°ÅŸte böyle bir ortamda Nash ne diyor? Önce iÅŸe karı açısından bakın. Ä°ÅŸ ona kalsa (4.8) kutusunu yani dışarda lokanta alternatifini seçerdi. Ama karısının bunu seçeceÄŸini düÅŸünen koca da bu durumda 2 yerine 4 haz alabilmek için dışarda lokanta alternatifini seçti. Çünkü (2.4) kutusu yerine (4.8) kutusunda olup 4 haz almak isterdi. Ä°ÅŸte (4.8) noktası bir Nash denge noktası. Nash dengesi, öyle bir nokta ki, hiçbir oyuncu o naktaya gelindiÄŸinde o naktadan baÅŸka yere gitmeyi düÅŸünmemekte.

Åžimdi tersini düÅŸünelim. Ä°lk önce koca tercih yapsın. Koca (10.5) hücresinde olmayı seçerdi. Çünkü en yüksek haz 10 ile bu hücrede. Ama bu durumda karısı (2.4) hücresine kilitlenmemek için (10.5) hücresine razı olurdu. Yani (10.5) hücresi de bir Nash dengesi. Bu basit örnekte iki adet Nash dengesi var (10.5 ve 4.8 hücrelerinin ikisi de Nash dengesi).

Yani Nash dengesi stratejisi bir oyuncunun karşısındaki oyuncunun oynayacağını düÅŸündüÄŸü stratejiye karşı kendisi açısından en iyi strateji. Nash dengesi stratejisi seçildiÄŸinde de kimse o dengeden baÅŸka bir yere gitmek istemiyor. Ä°ÅŸte Nash ağır matematik kullanarak, böyle bir dengenin çoÄŸu ÅŸartlarda mevcut olduÄŸunu ispat ederek, von Neumann'ın yaklaşımını genelleÅŸtirmiÅŸ, çözüm üretmiÅŸ ve denge kavramını yerleÅŸtirmiÅŸti. Böylece de oyun teorisinin bir sürü alanda kullanımının yolunu açmış ve Nobel'i hak etmiÅŸti. Bugün Nash dengesi ekonomi dışında biyoloji ve siyaset bilimi gibi son derece farklı alanlarda kullanılabilen önemli bir kavram. Bu da Nash'in psikolojik sorunlarından çok daha önemli.

28 Mart 2002

Kaynak: AkÅŸam