19. yüzyılda paraleller postülası değiştirilerek Öklid dışı geometriler kuruldu.

Nicolai Lobatchevski (1792-1856), "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan pek çok paralel çizilebilir veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür." önermelerini

ve Bernhard Riemann (1826-1866) ise "Bir doğruya dışındaki bir noktadan paralel çizilemez veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür." önermelerini,

beşinci postülanın yerine geçirerek Öklid dışı geometrilere ulaştılar.

Felix Klein (1847-1925) bu geometrilerin birbirleriyle olan ilişkilerini gösterdi. Ona göre, Öklid geometrisi sıfır eğrilikli bir yüzeye işaret eder ve pozitif eğrilikli bir yüzey (örneğin küre-dışı) üzerindeki Riemann geometrisi ile negatif eğrilikli bir yüzey (örneğin küre-içi) üzerindeki Lobatchevski geometrisi arasında yer alır; yani, parabolik geometri olan Öklid geometrisi, elliptik geometri (Riemann) ile hiperbolik geometrinin (Lobatchevski) limitidir.

Birden fazla geometrinin ortaya çıkması, akla bunlardan hangisinin doğru olduğu sorusunu getirebilir. Böyle bir soru anlamsızdır; çünkü teoremlerin doğruluğu, dayandıkları postülalara bağlıdır. Hangi geometri incelediğimiz konuya uygunsa, o geometriyi kullanırız. Şu halde, "Hangi geometri doğrudur?" sorusu yerine, "Hangi geometri yararlıdır?" sorusunun sorulması daha yerinde olacaktır. Üzerinde yaşadığımız Dünya'da, yani orta ölçekli boyutlarda Öklid geometrisi geçerlidir, ama Einstein, görelilik kuramını oluştururken, doğal olarak Riemann geometrisini kullanmıştır.

Günümüzdeki Öklid Çalışmaları:

  Archibald, Raymond Clare (1875-1957). Euclid'in şekillerin bölünmesiyle ilgili kitabı. Cambridge University Yayınları, Cambridge, 1915.

  Berggen J.L. Euclid’in Fenomenası: Euclid’in Helenistik çağda yaptığı astronomik çalışmaların tercümesi Garland, 1996

  Bretschneider, Karl Anton. Die Geometrie und die Geometer vor Eukleides; ein historischer Versuch. Teubner, Leipzig, 1870.

  Busard, H.L.L. Euclid'in "Elementları"nın ilk Latince tercümesi. Pontifical Enstütüsü.

  Chasles, M. (Michel) (1793-1880) Les trois livres de porismes d'Euclide, rétablis ... d'aprés la notice ... de Pappus. Mallet-Bachelier, Paris, 1860.

  Frankland, William Barrett. Euclid'in Elementlarının didaktik biçimde yorumlandığı ilk kitap. Cambridge Univ Yayınları, New York, 1905.

  Heath, Sir Thomas Little (1861-1940) Euclid’in 13 kitabının giriş bölümleri ve yorumlarıyla birlikte tercümesi. Üç cilt. University Press, Cambridge, 1908. İkinci Baskısı: University Press, Cambridge, 1925. Yenibasım: Dover Publ., New York, 1956. Yeniden gözden geçirildi: 10 (1928),60-62.

  Heiberg, J. L. (Johan Ludwig) (1854-1928) Euclid’in omnia operası. 8 cilt. ve ilaveler. 1883-1916. Hazırlayan J. L. Heiberg ve H. Menge.

  Kayas, G. J. Elemanlar(Fransızca). CNRS, 1978.

  Knorr, Wilbur Richard Euclid’in Elemanlarının Gelişimi. cilt 15. Reidel, Dordrecht-Boston, 1975.

  Morrow, Glenn R. Proclus: Euclid’in Elamanlarının ilk kitabının yorumu. Çeviren G. R. Morrow. Princeton Univ Press, Princeton, 1970.

  Mueller, Ian. Matematik felsefesi ve Philosophy of mathematics ve tümdengelim yapısı . MIT Press, Cambridge, Mass., 1981.

  Schmidt, Robert. Euclid'in eğilimleri , commonly genelde bilgileri adı verilir. Golden Hind Press, 1988.

  Taisbak, C. M. Renkli dörtgenler. Euclid’in elemanlarının 10 kitabının rehperi. Opuscula Graecolatina, 24. Museum Tusculanum Press, Copenhagen, 1982.

  Thomas-Stanford, Charles Euclid’in elemanlarının ilk baskıları. Bibliographical Society, London, 1926. Yeniden gözden geçirildi: 10 (1928), 59-60.

  Thomson, William. Pappus' Euclid’in Elamanları’nın yorumu. Cambridge, 1930. Review: Isis 16 (1931), 132-136

Kaynaklar:

www.matder.org.tr/unluler/oklid

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid

Encyclopedia Britannica

http://www.mathopenref.com/euclid.html