Haftalardır burada Öklid'in milattan önce 3. yüzyılda 'kurduÄŸu' geometriden söz ediyorum. Öklid geometrisini kurarken kendiliÄŸinden doÄŸru kabul edilen beÅŸ postula ve beÅŸ de aksiyomdan hareket etmiÅŸti temel olarak.
Öklid'in yapmış olduÄŸu, bilimsel düÅŸünce açısından çok ama çok büyük bir atılımdı. Çünkü Öklid sadece geometriyi kurmakla kalmıyor, bilimsel düÅŸünme yönteminin çerçevesini de oluÅŸturuyordu. 

Bu atılım hepimizin bugünkü düÅŸünme biçimini, herhangi bir ÅŸeyi karşımızdakine ispat etme biçimini vs. pek çok ÅŸeyi belirledi ve belirlemeye de devam ediyor.
Öklid'in beÅŸinci postulasının neredeyse yazıldığı günden beri sorunlara yol açtığını söylemiÅŸ ve geçen hafta Ä°talyan matematikçi Sacchieri'nin denemelerine kadar gelmiÅŸtim.
Aslında matematikçiler 19. yüzyıla kadar ortaya çıkan yeni mantıksal durumu anlayamadılar ve Öklid'in beÅŸinci postulasının diÄŸerlerinden BAÄžIMSIZ olduÄŸunun farkına varamadılar. Ki bu da, beÅŸinci postuladaki gibi bazı karşıt postulaların içerildiÄŸi geometri sistemlerinin kendi içlerinde mantıksal olarak tutarlı olabileceÄŸi anlamına geliyordu.
Öklid'den farklı bir geometrinin tutarlı olabileceÄŸini kavrayan ilk kiÅŸi Alman matematikçi Gauss'du ama düÅŸüncelerini yayımlamamıştı. Üstelik Gauss, 'Öklidçi olmayan geometri' terimini ilk kullanan kiÅŸiydi de.
Åžu tesadüfe bakın ki Gauss'la aÅŸağı yukarı aynı günlerde Macar matematikçi Bolyai ile Rus matematikçi Lobaçevski birbirlerinden bağımsız olarak Öklid dışı geometrilerini yayımladılar.
Bu yeni geometrinin ilkeleri Öklid'inkinden farklı ve tuhaftı. Bu yeni geometride verili bir çizginin üzerinde olmayan bir noktadan o çizgiye daima birden fazla paralel çizilebiliyor, üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceden az oluyordu vs.
Eminim özellikle kıtalararası uçuÅŸ yapanlar, mesela Ä°stanbul'dan New York'a uçanlar farkına varmıştır. Ekranda uçağın geçeceÄŸi rota düz bir çizgi olarak deÄŸil de bir eÄŸri olarak gösterilir.
Evet bir eÄŸri. Çünkü yerkürenin üzerinde (ya da herhangi bir kürenin üzerinde) iki nokta arasındaki en kısa yol düz bir çizgi deÄŸildir. Yani ister istemez Öklid dışı geometrilere ihtiyacımız var. Ä°stanbul'dan New York'a gitmek için en kısa yol neredeyse kuzey kutbu dairesine kadar yükselen bir eÄŸridir. Ä°sterseniz elinize ip alıp ölçün!
Ä°ÅŸte Öklid dışı geometriler bugün bize bundan ve daha baÅŸka pek çok karmaşık pratik sebepten ötürü lazım. Ama konumuz bu deÄŸil. Konumuz, bilimsel sistemler.
Öklid bir sistem yaratmıştı. Aradan iki bin yıl geçmeden bu sistemin dışında düÅŸünmek mümkün olmadı. Birileri sistemin dışına çıktığındaysa çok ÅŸey oldu.
Geometri gibi matematik de aslında basit öncülleri, yani postula ve aksiyomları olan mantıksal bir sistemdir. Ve matematik de aynen geometri
gibi evrensel geçerlik iddiasındaki bir sistemdir.
Peki birilerinin geometrinin temellerini sorguladığı ve yeni yeni geometrileri bulduğu bir ortamda acaba birileri de matematiğin temellerini sorgulamamış mıdır? Ya da en azından matematiğin temellerinin sağlamlığını kontrole yeltenmemiş midir?

Geçen hafta Öklid'in geometriyi kurma yöntemini ve giriÅŸimini anlatmaya baÅŸlamıştım.
Milattan önce 300 yılında yazdığı 'Ögeler' adlı kitapla bu devasa iÅŸe giriÅŸen Öklid, kendi içinde tutarlı bir sistem yaratmaya çalışıyordu. Bu
amaçla doÄŸruluÄŸu tartışmayacak ya da kendiliÄŸinden 'doÄŸru' olan 5 postula ile 5 aksiyom kullandı. Ayrıca, kendi sistemi içinde kullanacağı bütün terimler için de tanımlamalar yaptı. Burada 'postula' ile 'aksiyom' arasındaki fark, postulaların sadece geometriye, aksiyomların ise sadece geometriye ait olmamasından kaynaklanıyor Öklid'e göre.
Geçen hafta yazmıştım, Öklid'in postulalarından beÅŸincisi, daha yazıldığı günden itibaren tartışılmaya baÅŸlandı. Bu postulayı yeniden aktarmama izin verin:
"EÄŸer düz bir çizgi, diÄŸer iki düz çizgiyi keserse, öyle ki, bir kenardaki iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçükse, ÅŸu halde iki düz çizgi yeterince uzatıldığında, bu açıların olduÄŸu ilk çizginin aynı kenarında kesiÅŸirler."
Hafta içinde bu çeviriyi beÄŸenmeyen okurlar oldu. Haklılar, zaten karmaşık olan cümle Türkçede iyice karışıyor ama aynı çeviriyi yeniden kullanıyorum,
çünkü birkaç kitapta birden kelime kelime bu çeviriye rastladım.
KuÅŸkusuz postulanın tartışılma nedeni karmaşık bir ÅŸekilde yazılmış olması deÄŸil. Aslında, bu cümleyi bir ÅŸekille ifade edecek olursak iÅŸimiz kolaylaÅŸabilir. BeÅŸinci postulanın önerdiÄŸi ÅŸekil ÅŸöyle:

Varsayın ki AA', BB' ve CC' gibi üç düz çizgiye sahibiz.

Postula bize, eÄŸer AA', hem BB' hem de CC' çizgilerini keserse ve CED ve BDE açılarının toplamı iki dik açıdan azsa, o halde BB' ve CC' yeterince uzatılırlarsa birbirlerini keseceklerdir.
Bu postulaya sık sık geri döneceÄŸiz ama önce ben biraz Öklid'in yönteminden söz etmek istiyorum. Postulalar, aksiyomlar ve tanımları veren Öklid, daha sonra tamamen bunlardan yola çıkarak bir sistemi bir bir inÅŸa etmeye baÅŸlar. Sistem, 'Önermeler'den oluÅŸur ve bu önermeler ispat edilirler.
Aslında 'Ögeler'de ispatlanan ÅŸeyler iki türdendir. Bir bölümü evrensel yasalardır. Mesela 'Ögeler'in 1. kitabının 47. önermesi size hayli tanıdık gelecek: "Dik açılı üçgenlerde dik açının karşısındaki kenarın karesi, dik açıları içeren kenarların karelerinin toplamına eÅŸittir." Bizim Pisagor teoremi diye bildiÄŸimiz bu teorem evrensel bir ispattır. Bir de evrensel bir kural gibi verilmeyen bazı görev tarifleri vardır. Bu tariflerden hareketle yapılacak ispatlar elbette evrensel kurallar olarak sisteme girer.
Yani, 'evrensel' olma iddiasındaki sistemin temel dayanakları, postula
ve aksiyomlar ile tanımları verilmiş olan terimlerdir.
Ne olursa olsun, Öklid'in milattan önce 300 yılında yaptığı ÅŸey, çok ama çok büyük bir entelektüel sıçramaydı. Ve 19. yüzyılın ortalarına kadar 'Ögeler'in temel mantığı pek sorgulanmadı, hep 'doÄŸru' kabul edildi. Öklid'in sistemi ya 'doÄŸru'ydu ya da 'yanlış.' Üçüncü bir olasılığın olmadığı sanılıyordu.
Gördünüz hâlâ beÅŸinci postulanın yarattığı tartışmaya gelemeden yerim doldu. Haftaya bu inanılmaz bilimsel serüvene devam edelim.

Geçen hafta sonu bir seyahat nedeniyle yazı yazamayınca geometrinin tarihiyle baÅŸladığımız öykümüzde bazı hatırlatmalar yapmak kaçınılmaz oldu.
Milattan önce 300 yılında Yunanlı filozof Öklid'in 'geometriyi KURDUÄžUNU' yazmıştım. Öklid, 'ÖÄŸeler' isimli ünlü eserinde geometriyi kurarken kendiliÄŸinden doÄŸru kabul ettiÄŸi beÅŸ temel postula ile beÅŸ temel aksiyomu yazmış, ardından da kullanacağı kavramları ve deyimleri tanımlamıştı. Bu tanımlar da yapıldıktan sonra Öklid postula, aksiyom ve tanımlardan kaynaklanan çeÅŸitli teoremler yazmış, bunları ispata giriÅŸmiÅŸti. Yani bütün Öklidci geometri 10 peÅŸin doÄŸru ve bir dizi de tanımdan kaynaklanıyordu. Bu temellerin üzerine devasa bir bina inÅŸa edilmiÅŸti.
Ne var ki Öklid'in beÅŸinci postulası daha yazıldığı günden itibaren tartışmalı olmuÅŸtu. Postulayı bir kez daha hatırlatıyorum:
"EÄŸer bir düz çizgi, diÄŸer iki düz çizgiyi keserse, öyle ki, bir kenardaki iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçükse, ÅŸu halde iki düz çizgi yeterince uzatıldığında, bu açıların olduÄŸu ilk çizginin aynı kenarında birleÅŸirler."
Bu postulayı bir ÅŸekille ifade edecek olursak ÅŸunu görüyoruz:

DediÄŸim gibi bu postula hep rahatsızlık verdi. BaÅŸlangıçta bazı Yunanlı ve
Arap matematikçiler, beÅŸinci postulayı yok kabul edip, onu, diÄŸer dört postula ve beÅŸ aksiyomdan hareketle bir teorem olarak ispatlamaya kalkıştılar ama baÅŸarısız oldular.
Bu çeÅŸit giriÅŸimlerin belki bir faydası oldu: Bazı kiÅŸiler, beÅŸinci postulanın yerine farklı cümlelerle yazılmış bir yeni postula kullanarak Öklidci sistemin hâlâ geçerliliÄŸini göstermeyi denediler. Mesela, 'Verilen bir çizgi üzerinde olmayan bir noktadan, o çizgiye yalnızca bir paralel çizilebileceÄŸi' ilkesi böyle bir girÅŸimin sonucu bulundu ve beÅŸinci postulanın yerine kullanılır oldu. Hatta çoÄŸu zaman orijinal postula unutuldu ve beÅŸinci postula 'paralel postulası' olarak anılır oldu. (Bu yazıların baÅŸlığı olan 'Paralel hikâyesi' de oradan geliyor.)
DediÄŸim gibi bir dönem beÅŸinci postulanın diÄŸer postulalardan bağımsız OLMADIÄžI öne sürülmüÅŸ ama bu postulayı bir teorem gibi ispatlama giriÅŸimleri baÅŸarısız olmuÅŸtu. OlmuÅŸtu ama beÅŸinci postula hâlâ dertti.
18'inci yüzyılda Ä°talyan matematikçi Sacchieri farklı bir yol denemeye karar verdi. Felsefede 'reductio ad absurdum' denen bir yöntemi kullanmak istedi.
Buna göre Sacchieri, beÅŸinci postulanın diÄŸerlerinden bağımsız OLDUÄžUNU varsayacak ve sonra da bu varsayımın sistemde çeliÅŸkiye yol açtığını göstermeye çalışacaktı. EÄŸer çeliÅŸkiyi gösterebilirse, Öklid'in savının, yani beÅŸinci postulanın yanlışlığını ispatlamış olacaktı.
Åžimdi Sacchieri'nin yönteminin bütün ayrıntılarını kafanızı daha da karıştırmamak için buraya yazmayacağım ama yine de bazı teknik ÅŸeyleri söylemek zorundayım.
Sacchieri, çizdiÄŸi bir dörtgen ve bu dörtgene iliÅŸkin üç hipotezden yola çıktı. Birinci hipotez doÄŸruydu ve beÅŸinci postulayı da doÄŸruluyordu. Onu geçti. Ä°kinci hipotez için bazı varsayımlarda bulundu ve onu da bir kenara bıraktı. Üçüncü hipotezin üzerinde bir süre çalıştı. Fakat sonra umutsuzluk içinde baÅŸarısız olduÄŸunu düÅŸündü ve her ÅŸeyi bıraktı.
Sacchieri baÅŸarısız olduÄŸunu düÅŸünüyordu ama aslında ortada bir baÅŸarısızlık yoktu, tam tersine gerçek bir devrim vardı. Fakat Sacchieri bunun farkında deÄŸildi. Üçüncü hipotez üzerinde çalışırken Öklidci geometrinin teoremlerine paralel ama tuhaf biçimde ona benzemeyen bazı sonuçlar elde etmiÅŸti.
Sacchieri yapmış olduÄŸu ÅŸeyin öneminin farkında deÄŸildi. Bunun önemini anlamak için aradan bir yüzyıl daha geçmesi gerekecekti.

23.05.2004

Kaynak: Radikal ikinci bölüm   birinci bölüm