Matematik Haberleri Arşivi arrow Matematik haberleri arrow İsmet Berkan'dan Öklid hakkında Bir paralel öyküsü Radikal 2004
İsmet Berkan'dan Öklid hakkında Bir paralel öyküsü Radikal 2004 Yazdır E-Posta

Haftalardır burada Öklid'in milattan önce 3. yüzyılda 'kurduğu' geometriden söz ediyorum. Öklid geometrisini kurarken kendiliğinden doğru kabul edilen beş postula ve beş de aksiyomdan hareket etmişti temel olarak.
Öklid'in yapmış olduğu, bilimsel düşünce açısından çok ama çok büyük bir atılımdı. Çünkü Öklid sadece geometriyi kurmakla kalmıyor, bilimsel düşünme yönteminin çerçevesini de oluşturuyordu. 

Bu atılım hepimizin bugünkü düşünme biçimini, herhangi bir şeyi karşımızdakine ispat etme biçimini vs. pek çok şeyi belirledi ve belirlemeye de devam ediyor.
Öklid'in beşinci postulasının neredeyse yazıldığı günden beri sorunlara yol açtığını söylemiş ve geçen hafta İtalyan matematikçi Sacchieri'nin denemelerine kadar gelmiştim.
Aslında matematikçiler 19. yüzyıla kadar ortaya çıkan yeni mantıksal durumu anlayamadılar ve Öklid'in beşinci postulasının diğerlerinden BAĞIMSIZ olduğunun farkına varamadılar. Ki bu da, beşinci postuladaki gibi bazı karşıt postulaların içerildiği geometri sistemlerinin kendi içlerinde mantıksal olarak tutarlı olabileceği anlamına geliyordu.
Öklid'den farklı bir geometrinin tutarlı olabileceğini kavrayan ilk kişi Alman matematikçi Gauss'du ama düşüncelerini yayımlamamıştı. Üstelik Gauss, 'Öklidçi olmayan geometri' terimini ilk kullanan kişiydi de.
Şu tesadüfe bakın ki Gauss'la aşağı yukarı aynı günlerde Macar matematikçi Bolyai ile Rus matematikçi Lobaçevski birbirlerinden bağımsız olarak Öklid dışı geometrilerini yayımladılar.
Bu yeni geometrinin ilkeleri Öklid'inkinden farklı ve tuhaftı. Bu yeni geometride verili bir çizginin üzerinde olmayan bir noktadan o çizgiye daima birden fazla paralel çizilebiliyor, üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceden az oluyordu vs.
Eminim özellikle kıtalararası uçuş yapanlar, mesela İstanbul'dan New York'a uçanlar farkına varmıştır. Ekranda uçağın geçeceği rota düz bir çizgi olarak değil de bir eğri olarak gösterilir.
Evet bir eğri. Çünkü yerkürenin üzerinde (ya da herhangi bir kürenin üzerinde) iki nokta arasındaki en kısa yol düz bir çizgi değildir. Yani ister istemez Öklid dışı geometrilere ihtiyacımız var. İstanbul'dan New York'a gitmek için en kısa yol neredeyse kuzey kutbu dairesine kadar yükselen bir eğridir. İsterseniz elinize ip alıp ölçün!
İşte Öklid dışı geometriler bugün bize bundan ve daha başka pek çok karmaşık pratik sebepten ötürü lazım. Ama konumuz bu değil. Konumuz, bilimsel sistemler.
Öklid bir sistem yaratmıştı. Aradan iki bin yıl geçmeden bu sistemin dışında düşünmek mümkün olmadı. Birileri sistemin dışına çıktığındaysa çok şey oldu.
Geometri gibi matematik de aslında basit öncülleri, yani postula ve aksiyomları olan mantıksal bir sistemdir. Ve matematik de aynen geometri
gibi evrensel geçerlik iddiasındaki bir sistemdir.
Peki birilerinin geometrinin temellerini sorguladığı ve yeni yeni geometrileri bulduğu bir ortamda acaba birileri de matematiğin temellerini sorgulamamış mıdır? Ya da en azından matematiğin temellerinin sağlamlığını kontrole yeltenmemiş midir?

Geçen hafta Öklid'in geometriyi kurma yöntemini ve girişimini anlatmaya başlamıştım.
Milattan önce 300 yılında yazdığı 'Ögeler' adlı kitapla bu devasa işe girişen Öklid, kendi içinde tutarlı bir sistem yaratmaya çalışıyordu. Bu
amaçla doğruluğu tartışmayacak ya da kendiliğinden 'doğru' olan 5 postula ile 5 aksiyom kullandı. Ayrıca, kendi sistemi içinde kullanacağı bütün terimler için de tanımlamalar yaptı. Burada 'postula' ile 'aksiyom' arasındaki fark, postulaların sadece geometriye, aksiyomların ise sadece geometriye ait olmamasından kaynaklanıyor Öklid'e göre.
Geçen hafta yazmıştım, Öklid'in postulalarından beşincisi, daha yazıldığı günden itibaren tartışılmaya başlandı. Bu postulayı yeniden aktarmama izin verin:
"Eğer düz bir çizgi, diğer iki düz çizgiyi keserse, öyle ki, bir kenardaki iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçükse, şu halde iki düz çizgi yeterince uzatıldığında, bu açıların olduğu ilk çizginin aynı kenarında kesişirler."
Hafta içinde bu çeviriyi beğenmeyen okurlar oldu. Haklılar, zaten karmaşık olan cümle Türkçede iyice karışıyor ama aynı çeviriyi yeniden kullanıyorum,
çünkü birkaç kitapta birden kelime kelime bu çeviriye rastladım.
Kuşkusuz postulanın tartışılma nedeni karmaşık bir şekilde yazılmış olması değil. Aslında, bu cümleyi bir şekille ifade edecek olursak işimiz kolaylaşabilir. Beşinci postulanın önerdiği şekil şöyle:

Varsayın ki AA', BB' ve CC' gibi üç düz çizgiye sahibiz.

Postula bize, eğer AA', hem BB' hem de CC' çizgilerini keserse ve CED ve BDE açılarının toplamı iki dik açıdan azsa, o halde BB' ve CC' yeterince uzatılırlarsa birbirlerini keseceklerdir.
Bu postulaya sık sık geri döneceğiz ama önce ben biraz Öklid'in yönteminden söz etmek istiyorum. Postulalar, aksiyomlar ve tanımları veren Öklid, daha sonra tamamen bunlardan yola çıkarak bir sistemi bir bir inşa etmeye başlar. Sistem, 'Önermeler'den oluşur ve bu önermeler ispat edilirler.
Aslında 'Ögeler'de ispatlanan şeyler iki türdendir. Bir bölümü evrensel yasalardır. Mesela 'Ögeler'in 1. kitabının 47. önermesi size hayli tanıdık gelecek: "Dik açılı üçgenlerde dik açının karşısındaki kenarın karesi, dik açıları içeren kenarların karelerinin toplamına eşittir." Bizim Pisagor teoremi diye bildiğimiz bu teorem evrensel bir ispattır. Bir de evrensel bir kural gibi verilmeyen bazı görev tarifleri vardır. Bu tariflerden hareketle yapılacak ispatlar elbette evrensel kurallar olarak sisteme girer.
Yani, 'evrensel' olma iddiasındaki sistemin temel dayanakları, postula
ve aksiyomlar ile tanımları verilmiş olan terimlerdir.
Ne olursa olsun, Öklid'in milattan önce 300 yılında yaptığı şey, çok ama çok büyük bir entelektüel sıçramaydı. Ve 19. yüzyılın ortalarına kadar 'Ögeler'in temel mantığı pek sorgulanmadı, hep 'doğru' kabul edildi. Öklid'in sistemi ya 'doğru'ydu ya da 'yanlış.' Üçüncü bir olasılığın olmadığı sanılıyordu.
Gördünüz hâlâ beşinci postulanın yarattığı tartışmaya gelemeden yerim doldu. Haftaya bu inanılmaz bilimsel serüvene devam edelim.

Geçen hafta sonu bir seyahat nedeniyle yazı yazamayınca geometrinin tarihiyle başladığımız öykümüzde bazı hatırlatmalar yapmak kaçınılmaz oldu.
Milattan önce 300 yılında Yunanlı filozof Öklid'in 'geometriyi KURDUĞUNU' yazmıştım. Öklid, 'Öğeler' isimli ünlü eserinde geometriyi kurarken kendiliğinden doğru kabul ettiği beş temel postula ile beş temel aksiyomu yazmış, ardından da kullanacağı kavramları ve deyimleri tanımlamıştı. Bu tanımlar da yapıldıktan sonra Öklid postula, aksiyom ve tanımlardan kaynaklanan çeşitli teoremler yazmış, bunları ispata girişmişti. Yani bütün Öklidci geometri 10 peşin doğru ve bir dizi de tanımdan kaynaklanıyordu. Bu temellerin üzerine devasa bir bina inşa edilmişti.
Ne var ki Öklid'in beşinci postulası daha yazıldığı günden itibaren tartışmalı olmuştu. Postulayı bir kez daha hatırlatıyorum:
"Eğer bir düz çizgi, diğer iki düz çizgiyi keserse, öyle ki, bir kenardaki iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçükse, şu halde iki düz çizgi yeterince uzatıldığında, bu açıların olduğu ilk çizginin aynı kenarında birleşirler."
Bu postulayı bir şekille ifade edecek olursak şunu görüyoruz:

Dediğim gibi bu postula hep rahatsızlık verdi. Başlangıçta bazı Yunanlı ve
Arap matematikçiler, beşinci postulayı yok kabul edip, onu, diğer dört postula ve beş aksiyomdan hareketle bir teorem olarak ispatlamaya kalkıştılar ama başarısız oldular.
Bu çeşit girişimlerin belki bir faydası oldu: Bazı kişiler, beşinci postulanın yerine farklı cümlelerle yazılmış bir yeni postula kullanarak Öklidci sistemin hâlâ geçerliliğini göstermeyi denediler. Mesela, 'Verilen bir çizgi üzerinde olmayan bir noktadan, o çizgiye yalnızca bir paralel çizilebileceği' ilkesi böyle bir girşimin sonucu bulundu ve beşinci postulanın yerine kullanılır oldu. Hatta çoğu zaman orijinal postula unutuldu ve beşinci postula 'paralel postulası' olarak anılır oldu. (Bu yazıların başlığı olan 'Paralel hikâyesi' de oradan geliyor.)
Dediğim gibi bir dönem beşinci postulanın diğer postulalardan bağımsız OLMADIĞI öne sürülmüş ama bu postulayı bir teorem gibi ispatlama girişimleri başarısız olmuştu. Olmuştu ama beşinci postula hâlâ dertti.
18'inci yüzyılda İtalyan matematikçi Sacchieri farklı bir yol denemeye karar verdi. Felsefede 'reductio ad absurdum' denen bir yöntemi kullanmak istedi.
Buna göre Sacchieri, beşinci postulanın diğerlerinden bağımsız OLDUĞUNU varsayacak ve sonra da bu varsayımın sistemde çelişkiye yol açtığını göstermeye çalışacaktı. Eğer çelişkiyi gösterebilirse, Öklid'in savının, yani beşinci postulanın yanlışlığını ispatlamış olacaktı.
Şimdi Sacchieri'nin yönteminin bütün ayrıntılarını kafanızı daha da karıştırmamak için buraya yazmayacağım ama yine de bazı teknik şeyleri söylemek zorundayım.
Sacchieri, çizdiği bir dörtgen ve bu dörtgene ilişkin üç hipotezden yola çıktı. Birinci hipotez doğruydu ve beşinci postulayı da doğruluyordu. Onu geçti. İkinci hipotez için bazı varsayımlarda bulundu ve onu da bir kenara bıraktı. Üçüncü hipotezin üzerinde bir süre çalıştı. Fakat sonra umutsuzluk içinde başarısız olduğunu düşündü ve her şeyi bıraktı.
Sacchieri başarısız olduğunu düşünüyordu ama aslında ortada bir başarısızlık yoktu, tam tersine gerçek bir devrim vardı. Fakat Sacchieri bunun farkında değildi. Üçüncü hipotez üzerinde çalışırken Öklidci geometrinin teoremlerine paralel ama tuhaf biçimde ona benzemeyen bazı sonuçlar elde etmişti.
Sacchieri yapmış olduğu şeyin öneminin farkında değildi. Bunun önemini anlamak için aradan bir yüzyıl daha geçmesi gerekecekti.

23.05.2004

Kaynak: Radikal ikinci bölüm   birinci bölüm

<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HİPERBOLİK UZAY
FOTO MATEMATİK
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARİKATÜR
M.C.Escher galeri
MATEMATİK KİTABI
MATEMATİK FİLMİ