Matematik Haberleri Arşivi arrow Matematik haberleri arrow Doç. Dr. Cem Yalçın Yıldırım ve Amerikalı meslektaşının Asal sayı buluşu Radikal 2003
Doç. Dr. Cem Yalçın Yıldırım ve Amerikalı meslektaşının Asal sayı buluşu Radikal 2003 Yazdır E-Posta

Matematikçileri yüzyıllardır uğraştıran asal sayı gizi, Doç. Dr. Cem Yalçın Yıldırım ve Amerikalı meslektaşının sayesinde aralandı. Şimdi sıra 'Yedi Clay Problemi'nde 

İSTANBUL - MÖ 4. yüzyılda Yunanlı matematikçi Öklid, asal sayıların sonsuza kadar uzandığını ispatladı. MÖ 3. yüzyılda da yine bir Yunanlı matematikçi Erastosthenes, sistematik olarak asal sayıları bulmak için yöntem geliştirdi. MS 17. yüzyılda Fermant, 1859'da Riemann, 1920'lerde Hardy ve Littlewood, asal sayılar teorisine katkı yaptı.
Asal sayılar, 'yalnızca kendisine ve 1'e bölünebilen tam sayılar'. En küçük asal sayılar, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19. Küçük asal sayıları bulmak zor değil. Matematikçileri uğraştıran ise büyük asallar. Asal sayıların bir özelliği, dağılımlarının düzenli olmaması. Aralarındaki fark sabit olan asal sayı çiftlerine 'ikiz asallar' deniyor. Bu fark en az iki olabilir. Örneğin, 3'le 5, 5'le 7, 11'le 13, 41'le 43, 107'yle 109 gibi.
İkiz asalları bulmak, yüksek değerlere çıktıkça zorlaşıyor. Bitiyorlar mı, ya da sonsuza kadar bulunabiliyorlar mı?
Yıllardır sayılar teorisi alanında çalışan San Jose Devlet Üniversitesi'nden Prof. Dr. Dan Goldston'la Boğaziçi Üniversitesi öğretim üyesi Doç. Dr. Cem Yalçın Yıldırım, asal sayıların nasıl dağıldığına ışık tuttu.
'İkiz asal sayılar olmasa da birbirine yakın asal sayılar sonsuza kadar uzanıyor mu' sorusuna nasıl bir yanıt buldunuz?
Birbirine yakından kastedilen, 'göreceli bir yakınlık'tır. Asal sayıları sayan bir fonksiyon var. Bu fonksiyonun kendisiyle çalışmak, belli bir yere kadar mümkün. 1896'da, 'Asal Sayı Teoremi' ispatlandığında, bu fonksiyonla yapılacaklar neredeyse tükenmişti.
Nereye kadar sayılabiliyordu?
Sonsuza kadar. Bütün mesele, belli özelliklere sahip asalların, bu özelliklerinin sonsuza kadar sürüp sürmediği. Bu demektir ki, bilgisayarla ispat söz konusu değil. Biz asal sayıları sayan fonksiyonu taklit eden iki fonksiyonla çalıştık. Bu fonksiyonların yüksek mertebeden incelemelere yardımcı olabileceğini düşünerek yola çıktık.
Uzun süre bu iki fonksiyonu kullanarak çalışıp epey mesafe kaydettik. Böylelikle edindiğimiz deneyim, fonksiyonlarda küçük değişiklikler yapma gereğini hissettirdi. Asal sayacı taklidini en doğru yapan fonksiyonu bulunca, söz konusu sonuca ulaşıldı.
Tam olarak buluşunuz nedir?
Buna 'geldiğimiz sonuç' diyelim. Daha kuvvetli sonuçlara ilerlenebilir. Nitel bir ifadeyle, birbirine bilinenden çok yakın olan asalların oluştuğunu, sonsuza kadar uzanan dizilerin varlığını ispatladık. Tabii sonuçlarımız aslında nicel ifadelere sahip...
Goldston bu problemi çözmek için 20 yıldır uğraşıyormuş. Ya siz?
'Analitik Sayılar Teorisi' bu alanın genel başlığı. Goldston, 1981 yılında Berkeley'de, ben de 1990'da Toronto Üniversitesi'nde doktoramı tamamladım. Asal sayıların dağılımındaki gizemler matematikte en temel ve merkezi soruların bazılarının konusunu oluşturur. İkiz asalların sonsuza dek uzanıp
uzanmadığı yüzlerce yıldır soruluyor. İşin ilginç tarafı, bu soruyu ortaokul öğrencisi bile anlayabilir ama insanlık yüzlerce yıldır çözememiş.
Bu ve benzeri soruların zor olmasının esas nedeni, asal olma özelliği çarpma işlemine göre tanımlanmış bir özellik olduğu halde, asallar arasında
toplama işlemine göre ilişkileri sorgulamasıdır.
Bu soru ilk ne zaman sorulmuş?
Bilindiği kadarıyla, asal sayıların bahsi ilk olarak Öklid'in MÖ 4. yüzyıldaki kitaplarında geçiyor. Öklid ikiz asallardan bahsetmiş, ama asal sayılar dizisinin sonsuzluğunu ispatlamış. İkiz asallar sorusunun en az birkaç yüzyıllık olması gerek. İlk ne zaman sorulduğunu belirten bir kaynağım yok.
Sizin ne zaman haberiniz oldu?
Ortaokuldan beri haberdarım. Çünkü popüler matematik veya ortaokul ders kitaplarında var. Binlerce yıl, binlerce kişi asalları araştırmış. Ama, hep bu hedefe odaklanmış olarak çalışmıyordum. Goldston'la girdiğimiz araştırma evresinde, asalların dağılımı hakkında bilinenin daha ötesine giden bilgiler toplama peşindeydik, yöntemimizi gidebildiği yere kadar kullanmaya çalıştık. Bu kadar önemli bir sonuç çıkacağını beklemiyorduk.
Sonucunuzun önemi nedir?
Matematiğin çeşitli branşları var. Bizim alanımız 'Sayılar Teorisi', matematiğin en pür dallarından birisi. Büyük olasılıkla sayılar teorisinde birçok soru hakkında daha kuvvetli sonuçların bulunmasına yol açacak. Genel olarak teoriyi de etkileyebileceğine inanıyorum, ama uygulamaları olur mu, pek kestiremiyorum. Bu çizgi takip edilerek sonuçta ikiz asalların sonsuza dek uzandığı ispatlanabilir mi, bilmiyorum. Öte yandan, asal sayıların bilinen uygulamaları var. Özellikle şifrecilikte asal sayılar kullanıyorlar ve büyük asal sayılar onların işine yarıyor.
Kırılması daha mı zor oluyor?
İki tane büyük asal sayı buluyorlar. Onları birbiriyle çarpıyorlar. Çarpım, sizin anahtarınız oluyor ve bunu herkese ilan edebiliyorsunuz. Esas önemli olan, o çarpanları bilmek. Çünkü çarpanlara ayırmak zor. Yani, 3 ile 5'ten 15'e ulaşmak, 15 verildiği zaman 3'le 5'e ulaşmaktan daha kolay. Sayılar büyüdükçe, çarpanlara ayırmak, dolayısıyla şifreleri kırmak zorlaşıyor.
Bölünmesi daha zor oluyor...
Evet, şifrecilikte asallar son yıllarda büyük bir öneme sahip oldu. 20. yüzyılın başlarında değildi. Zamanın ünlü matematikçilerinden G. H. Hardy, 'Bir Matematikçinin Savunması' adlı kitabında, sayılar teorisinin tamamen düşünce ve düşünce estetiği amaçlı bir konu olduğunu, uygulamasının olmadığını ve bunun konuyu daha üstün kıldığını yazmıştı. Asallar, 30-40 yıl sonra şifrecilikte muazzam bir kullanım alanı buldu. Hardy matematikçiydi ama uygulamada bunu öngöremedi.
Asallara ilişkin buluşlar neler?
'Asal Sayı Teoremi', 1896'da iki Fransız matematikçi Jacques Hadamard ve Ch. de La Valle Poussin tarafından ayrı ayrı ispatlandı. Bu teoreme ulaşma süreci 1972'de Alman matematikçi Karl Friedrich Gauss tarafından başlatılmıştı. Yani, teoremin söylediği şeyi Gauss tahmin etmişti. Fakat bunun ispatlanması 100 yıl kadar sürdü. Asal Sayı Teoremi, asal sayıların ortalama olarak nasıl dağıldığı hakkındadır. Daha sonra, 'bu ortalamadan ne kadar sapmalar olabileceği' sorusu önem kazandı. Bu konuda bir dizi gelişmeler oldu. Bizimki de sonuncusu.
Bundan sonra ne yapacaksınız?
Çalışmaya devam edeceğiz. Asal saymayı taklit eden fonksiyonları kullanarak
teoride ilerleme sağlanabilecek birkaç yön var.
Örnekleyebilir misiniz?
Örneğin, 'Riemann-Zeta Fonksiyonu Teorisi' var. Bu teori, bugün matematikte
en büyük sorulardan birini barındırıyor ve 1859'dan beri çözülmedi.
'Riemann Hipotezi' adıyla tanınan bu problem yedi 'Clay Problemi'nden biri ki, her birini çözene 1 milyon dolar ödül verilecek. Asal sayacı taklitçisi
fonksiyonların Riemann-Zeta Fonksiyonu Teorisi'nde etkileri olabileceğine inanıyorum. Ayrıca, 'Sayılar Teorisi'nde çeşitli özelikleri olan elemanları
saymak için geliştirilmiş teknikler var, orada da etkili olabilir.
Bunlarla uğraşacak mısınız?
Bazılarıyla uğraşmak isterim.
Goldston'la nasıl tanıştınız?
İlk kez 1984'te Oklahoma'da bir konferansta görmüştüm. Daha sonra, ben tezimi yazarken yazışmıştık. 1991'de yine bir konferansta karşılaştık. 1995'te ücretli iznimi onun çalıştığı üniversitede geçirdim ve birlikte çalıştık. 1999'da TÜBİTAK'ın bursuna başvurup, Berkeley'de bir programa gittim ve bu çalışma süreci başladı.
Çalışmanız sırasında beklenmedik gelişmeler oldu mu?
Başından itibaren hep ilginçlikler yaşandı. Kolay zannetiğimiz bir şey zor çıkıyor. Çözebilseniz bile, iki günde yapacağınızı zannetiğinizin çözümü, üç-dört ay alabiliyor. Bazen de tam tersi oluyor. Böyle dört senedir kaptırdık gittik, ama hırsımız ve acelemiz yoktu. Olsa herhalde yapamazdık.
Matematiğe ilginiz nereden?
Babam beni küçükken biraz yönlendirdi. Evimizde konuyla ilgili kitaplar vardı ve entelektüel bir çevrede büyüdüm. Okulda matematiğim iyiydi. Fen ve edebiyat dersleri beni çok zorlardı.
Babanızın uzmanlığı neydi?
Babam Cemal Yıldırım, ODTÜ'de profesördü. Çeşitli alanlarda çalışmaları var. Eğitim, mantık, bilim felsefesi, bilim tarihi, matematiksel düşünme üzerine kitaplar yazdı.
Fen lisesinde zorlandınız mı?
Başlangıçta epey zorlandım.
Matematik tüm yaşantınız mı?
Boş vaktim olmuyor. Ders vermek zaman ve enerji alıyor. Aslında araştırmayla uğraşan insanların ders yükünün daha hafif olması gerekir.
Ne zaman çalışıyorsunuz?
Akşam ve hafta sonları. Son üç-dört yıldır, gece-gündüz birbirine karıştı.

'Matematiğe ilgisiziz'
Toplumumuz neden matematiğe ilgisiz?
Evet bazı toplumlara göre biraz az ama, burada da matematikle ilgilenenler var.
Genelde matematik dersleri pek sevilmiyor. Bu, biraz da matematik öğretmenlerinin sert ve acımasız olmalarından mı kaynaklanıyor?
Bazen kısmen öğretmenlerden kaynaklanıyor. Özellikle küçük yaşta insanlar matematik öğretmenlerinden olumlu ya da olumsuz etkileniyor. Matematik öğreniminin insanın psikolojik durumuna çok bağlı olduğunu düşünüyorum. Toplumumuzun matematik geleneği çok kuvvetli değil. Sanıyorum, Osmanlı zamanında kaydadeğer bir matematikçimiz de yok.

'Beyin fırtınası'
Heath Brown'ın geçen sonbaharda söylediği ve beyin fırtınasına yol açan neydi?
'Beyin fırtınası' lafı nereden çıktı bilmiyorum ama, birisinin söylediği bir şeyle ya da durup dururken insanın kafasına yeni fikirlerin, düşüncelerin doğması olağan. Biz iki tane sayaç taklidi yapan fonksiyonla çalıştık. Birisiyle Goldston, biriyle de ben çalışıyordum. Yaptığımız şeyleri de birbirimize gönderiyorduk. 'Belki başka bir asal sayacı taklidi üretebiliriz' düşüncesi hep vardı. Heath Brown, başka bir sayaç taklidi önermiş. Gerçi sonuca götüren de, tam onun önerdiği olmadı. Birkaç aşamada, küçük değişikliklerden sonra sonuca ulaşılabildi.

O aslında fizik mezunu
42 yaşındaki Doç. Dr. Cem Yalçın Yıldırım, 1978'de fen lisesini bitirdi. Ardından ODTÜ Fizik Bölümü'nden mezun oldu. Yıldırım, SUNY at Stnoy Brook'ta fizik alanında doktora çalışmasına başladı. Bir yıl sonra Toronto Üniversitesi'nde matematik doktorası yapmak için başvurdu. 1990'da doktorasını tamamlayıp Bilkent Üniversitesi'nde öğretim üyesi oldu. 2002'de Boğaziçi Üniversitesi'ne geçen Yıldırım, TÜBİTAK Feza Gürsey Temel Bilimler Enstitüsü'nde de çalışıyor

08.04.2003

Kaynak: Radikal  

<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HİPERBOLİK UZAY
FOTO MATEMATİK
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARİKATÜR
M.C.Escher galeri
MATEMATİK KİTABI
MATEMATİK FİLMİ