Matematikçileri yüzyıllardır uÄŸraÅŸtıran asal sayı gizi, Doç. Dr. Cem Yalçın Yıldırım ve Amerikalı meslektaşının sayesinde aralandı. Åžimdi sıra 'Yedi Clay Problemi'nde 

Ä°STANBUL - MÖ 4. yüzyılda Yunanlı matematikçi Öklid, asal sayıların sonsuza kadar uzandığını ispatladı. MÖ 3. yüzyılda da yine bir Yunanlı matematikçi Erastosthenes, sistematik olarak asal sayıları bulmak için yöntem geliÅŸtirdi. MS 17. yüzyılda Fermant, 1859'da Riemann, 1920'lerde Hardy ve Littlewood, asal sayılar teorisine katkı yaptı.
Asal sayılar, 'yalnızca kendisine ve 1'e bölünebilen tam sayılar'. En küçük asal sayılar, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19. Küçük asal sayıları bulmak zor deÄŸil. Matematikçileri uÄŸraÅŸtıran ise büyük asallar. Asal sayıların bir özelliÄŸi, dağılımlarının düzenli olmaması. Aralarındaki fark sabit olan asal sayı çiftlerine 'ikiz asallar' deniyor. Bu fark en az iki olabilir. ÖrneÄŸin, 3'le 5, 5'le 7, 11'le 13, 41'le 43, 107'yle 109 gibi.
Ä°kiz asalları bulmak, yüksek deÄŸerlere çıktıkça zorlaşıyor. Bitiyorlar mı, ya da sonsuza kadar bulunabiliyorlar mı?
Yıllardır sayılar teorisi alanında çalışan San Jose Devlet Üniversitesi'nden Prof. Dr. Dan Goldston'la BoÄŸaziçi Üniversitesi öÄŸretim üyesi Doç. Dr. Cem Yalçın Yıldırım, asal sayıların nasıl dağıldığına ışık tuttu.
'İkiz asal sayılar olmasa da birbirine yakın asal sayılar sonsuza kadar uzanıyor mu' sorusuna nasıl bir yanıt buldunuz?
Birbirine yakından kastedilen, 'göreceli bir yakınlık'tır. Asal sayıları sayan bir fonksiyon var. Bu fonksiyonun kendisiyle çalışmak, belli bir yere kadar mümkün. 1896'da, 'Asal Sayı Teoremi' ispatlandığında, bu fonksiyonla yapılacaklar neredeyse tükenmiÅŸti.
Nereye kadar sayılabiliyordu?
Sonsuza kadar. Bütün mesele, belli özelliklere sahip asalların, bu özelliklerinin sonsuza kadar sürüp sürmediÄŸi. Bu demektir ki, bilgisayarla ispat söz konusu deÄŸil. Biz asal sayıları sayan fonksiyonu taklit eden iki fonksiyonla çalıştık. Bu fonksiyonların yüksek mertebeden incelemelere yardımcı olabileceÄŸini düÅŸünerek yola çıktık.
Uzun süre bu iki fonksiyonu kullanarak çalışıp epey mesafe kaydettik. Böylelikle edindiÄŸimiz deneyim, fonksiyonlarda küçük deÄŸiÅŸiklikler yapma gereÄŸini hissettirdi. Asal sayacı taklidini en doÄŸru yapan fonksiyonu bulunca, söz konusu sonuca ulaşıldı.
Tam olarak buluÅŸunuz nedir?
Buna 'geldiÄŸimiz sonuç' diyelim. Daha kuvvetli sonuçlara ilerlenebilir. Nitel bir ifadeyle, birbirine bilinenden çok yakın olan asalların oluÅŸtuÄŸunu, sonsuza kadar uzanan dizilerin varlığını ispatladık. Tabii sonuçlarımız aslında nicel ifadelere sahip...
Goldston bu problemi çözmek için 20 yıldır uÄŸraşıyormuÅŸ. Ya siz?
'Analitik Sayılar Teorisi' bu alanın genel baÅŸlığı. Goldston, 1981 yılında Berkeley'de, ben de 1990'da Toronto Üniversitesi'nde doktoramı tamamladım. Asal sayıların dağılımındaki gizemler matematikte en temel ve merkezi soruların bazılarının konusunu oluÅŸturur. Ä°kiz asalların sonsuza dek uzanıp
uzanmadığı yüzlerce yıldır soruluyor. Ä°ÅŸin ilginç tarafı, bu soruyu ortaokul öÄŸrencisi bile anlayabilir ama insanlık yüzlerce yıldır çözememiÅŸ.
Bu ve benzeri soruların zor olmasının esas nedeni, asal olma özelliÄŸi çarpma iÅŸlemine göre tanımlanmış bir özellik olduÄŸu halde, asallar arasında
toplama iÅŸlemine göre iliÅŸkileri sorgulamasıdır.
Bu soru ilk ne zaman sorulmuÅŸ?
BilindiÄŸi kadarıyla, asal sayıların bahsi ilk olarak Öklid'in MÖ 4. yüzyıldaki kitaplarında geçiyor. Öklid ikiz asallardan bahsetmiÅŸ, ama asal sayılar dizisinin sonsuzluÄŸunu ispatlamış. Ä°kiz asallar sorusunun en az birkaç yüzyıllık olması gerek. Ä°lk ne zaman sorulduÄŸunu belirten bir kaynağım yok.
Sizin ne zaman haberiniz oldu?
Ortaokuldan beri haberdarım. Çünkü popüler matematik veya ortaokul ders kitaplarında var. Binlerce yıl, binlerce kiÅŸi asalları araÅŸtırmış. Ama, hep bu hedefe odaklanmış olarak çalışmıyordum. Goldston'la girdiÄŸimiz araÅŸtırma evresinde, asalların dağılımı hakkında bilinenin daha ötesine giden bilgiler toplama peÅŸindeydik, yöntemimizi gidebildiÄŸi yere kadar kullanmaya çalıştık. Bu kadar önemli bir sonuç çıkacağını beklemiyorduk.
Sonucunuzun önemi nedir?
MatematiÄŸin çeÅŸitli branÅŸları var. Bizim alanımız 'Sayılar Teorisi', matematiÄŸin en pür dallarından birisi. Büyük olasılıkla sayılar teorisinde birçok soru hakkında daha kuvvetli sonuçların bulunmasına yol açacak. Genel olarak teoriyi de etkileyebileceÄŸine inanıyorum, ama uygulamaları olur mu, pek kestiremiyorum. Bu çizgi takip edilerek sonuçta ikiz asalların sonsuza dek uzandığı ispatlanabilir mi, bilmiyorum. Öte yandan, asal sayıların bilinen uygulamaları var. Özellikle ÅŸifrecilikte asal sayılar kullanıyorlar ve büyük asal sayılar onların iÅŸine yarıyor.
Kırılması daha mı zor oluyor?
Ä°ki tane büyük asal sayı buluyorlar. Onları birbiriyle çarpıyorlar. Çarpım, sizin anahtarınız oluyor ve bunu herkese ilan edebiliyorsunuz. Esas önemli olan, o çarpanları bilmek. Çünkü çarpanlara ayırmak zor. Yani, 3 ile 5'ten 15'e ulaÅŸmak, 15 verildiÄŸi zaman 3'le 5'e ulaÅŸmaktan daha kolay. Sayılar büyüdükçe, çarpanlara ayırmak, dolayısıyla ÅŸifreleri kırmak zorlaşıyor.
Bölünmesi daha zor oluyor...
Evet, ÅŸifrecilikte asallar son yıllarda büyük bir öneme sahip oldu. 20. yüzyılın baÅŸlarında deÄŸildi. Zamanın ünlü matematikçilerinden G. H. Hardy, 'Bir Matematikçinin Savunması' adlı kitabında, sayılar teorisinin tamamen düÅŸünce ve düÅŸünce estetiÄŸi amaçlı bir konu olduÄŸunu, uygulamasının olmadığını ve bunun konuyu daha üstün kıldığını yazmıştı. Asallar, 30-40 yıl sonra ÅŸifrecilikte muazzam bir kullanım alanı buldu. Hardy matematikçiydi ama uygulamada bunu öngöremedi.
Asallara iliÅŸkin buluÅŸlar neler?
'Asal Sayı Teoremi', 1896'da iki Fransız matematikçi Jacques Hadamard ve Ch. de La Valle Poussin tarafından ayrı ayrı ispatlandı. Bu teoreme ulaÅŸma süreci 1972'de Alman matematikçi Karl Friedrich Gauss tarafından baÅŸlatılmıştı. Yani, teoremin söylediÄŸi ÅŸeyi Gauss tahmin etmiÅŸti. Fakat bunun ispatlanması 100 yıl kadar sürdü. Asal Sayı Teoremi, asal sayıların ortalama olarak nasıl dağıldığı hakkındadır. Daha sonra, 'bu ortalamadan ne kadar sapmalar olabileceÄŸi' sorusu önem kazandı. Bu konuda bir dizi geliÅŸmeler oldu. Bizimki de sonuncusu.
Bundan sonra ne yapacaksınız?
Çalışmaya devam edeceÄŸiz. Asal saymayı taklit eden fonksiyonları kullanarak
teoride ilerleme saÄŸlanabilecek birkaç yön var.
Örnekleyebilir misiniz?
ÖrneÄŸin, 'Riemann-Zeta Fonksiyonu Teorisi' var. Bu teori, bugün matematikte
en büyük sorulardan birini barındırıyor ve 1859'dan beri çözülmedi.
'Riemann Hipotezi' adıyla tanınan bu problem yedi 'Clay Problemi'nden biri ki, her birini çözene 1 milyon dolar ödül verilecek. Asal sayacı taklitçisi
fonksiyonların Riemann-Zeta Fonksiyonu Teorisi'nde etkileri olabileceÄŸine inanıyorum. Ayrıca, 'Sayılar Teorisi'nde çeÅŸitli özelikleri olan elemanları
saymak için geliÅŸtirilmiÅŸ teknikler var, orada da etkili olabilir.
Bunlarla uğraşacak mısınız?
Bazılarıyla uğraşmak isterim.
Goldston'la nasıl tanıştınız?
Ä°lk kez 1984'te Oklahoma'da bir konferansta görmüÅŸtüm. Daha sonra, ben tezimi yazarken yazışmıştık. 1991'de yine bir konferansta karşılaÅŸtık. 1995'te ücretli iznimi onun çalıştığı üniversitede geçirdim ve birlikte çalıştık. 1999'da TÜBÄ°TAK'ın bursuna baÅŸvurup, Berkeley'de bir programa gittim ve bu çalışma süreci baÅŸladı.
Çalışmanız sırasında beklenmedik geliÅŸmeler oldu mu?
Başından itibaren hep ilginçlikler yaÅŸandı. Kolay zannetiÄŸimiz bir ÅŸey zor çıkıyor. Çözebilseniz bile, iki günde yapacağınızı zannetiÄŸinizin çözümü, üç-dört ay alabiliyor. Bazen de tam tersi oluyor. Böyle dört senedir kaptırdık gittik, ama hırsımız ve acelemiz yoktu. Olsa herhalde yapamazdık.
MatematiÄŸe ilginiz nereden?
Babam beni küçükken biraz yönlendirdi. Evimizde konuyla ilgili kitaplar vardı ve entelektüel bir çevrede büyüdüm. Okulda matematiÄŸim iyiydi. Fen ve edebiyat dersleri beni çok zorlardı.
Babanızın uzmanlığı neydi?
Babam Cemal Yıldırım, ODTÜ'de profesördü. ÇeÅŸitli alanlarda çalışmaları var. EÄŸitim, mantık, bilim felsefesi, bilim tarihi, matematiksel düÅŸünme üzerine kitaplar yazdı.
Fen lisesinde zorlandınız mı?
BaÅŸlangıçta epey zorlandım.
Matematik tüm yaÅŸantınız mı?
BoÅŸ vaktim olmuyor. Ders vermek zaman ve enerji alıyor. Aslında araÅŸtırmayla uÄŸraÅŸan insanların ders yükünün daha hafif olması gerekir.
Ne zaman çalışıyorsunuz?
AkÅŸam ve hafta sonları. Son üç-dört yıldır, gece-gündüz birbirine karıştı.

'MatematiÄŸe ilgisiziz'
Toplumumuz neden matematiÄŸe ilgisiz?
Evet bazı toplumlara göre biraz az ama, burada da matematikle ilgilenenler var.
Genelde matematik dersleri pek sevilmiyor. Bu, biraz da matematik öÄŸretmenlerinin sert ve acımasız olmalarından mı kaynaklanıyor?
Bazen kısmen öÄŸretmenlerden kaynaklanıyor. Özellikle küçük yaÅŸta insanlar matematik öÄŸretmenlerinden olumlu ya da olumsuz etkileniyor. Matematik öÄŸreniminin insanın psikolojik durumuna çok baÄŸlı olduÄŸunu düÅŸünüyorum. Toplumumuzun matematik geleneÄŸi çok kuvvetli deÄŸil. Sanıyorum, Osmanlı zamanında kaydadeÄŸer bir matematikçimiz de yok.

'Beyin fırtınası'
Heath Brown'ın geçen sonbaharda söylediÄŸi ve beyin fırtınasına yol açan neydi?
'Beyin fırtınası' lafı nereden çıktı bilmiyorum ama, birisinin söylediÄŸi bir ÅŸeyle ya da durup dururken insanın kafasına yeni fikirlerin, düÅŸüncelerin doÄŸması olaÄŸan. Biz iki tane sayaç taklidi yapan fonksiyonla çalıştık. Birisiyle Goldston, biriyle de ben çalışıyordum. Yaptığımız ÅŸeyleri de birbirimize gönderiyorduk. 'Belki baÅŸka bir asal sayacı taklidi üretebiliriz' düÅŸüncesi hep vardı. Heath Brown, baÅŸka bir sayaç taklidi önermiÅŸ. Gerçi sonuca götüren de, tam onun önerdiÄŸi olmadı. Birkaç aÅŸamada, küçük deÄŸiÅŸikliklerden sonra sonuca ulaşılabildi.

O aslında fizik mezunu
42 yaşındaki Doç. Dr. Cem Yalçın Yıldırım, 1978'de fen lisesini bitirdi. Ardından ODTÜ Fizik Bölümü'nden mezun oldu. Yıldırım, SUNY at Stnoy Brook'ta fizik alanında doktora çalışmasına baÅŸladı. Bir yıl sonra Toronto Üniversitesi'nde matematik doktorası yapmak için baÅŸvurdu. 1990'da doktorasını tamamlayıp Bilkent Üniversitesi'nde öÄŸretim üyesi oldu. 2002'de BoÄŸaziçi Üniversitesi'ne geçen Yıldırım, TÜBÄ°TAK Feza Gürsey Temel Bilimler Enstitüsü'nde de çalışıyor

08.04.2003

Kaynak: Radikal