Fraktalların bulunuÅŸu, Koch, Sierpinski, Cantor fraktalları. Türkiye Matematikçiler DerneÄŸinden Prof. Dr. H. Hilmi HACISALÄ°HOÄžLU 2004'te yazdığı yazısı.

1.  GÄ°RÄ°Åž

Ä°lk matematiksel fraktal kavramı 1861 de keÅŸfedildi. Karl Weierstrass sürekli fakat hiçbir noktada diferensiyellenebilir olmayan , yani köÅŸe noktalarından oluÅŸan bir eÄŸri üzerindeki deÄŸiÅŸmeleri araÅŸtırken, hiçbir noktada deÄŸiÅŸme oranının bulunamayacağı kanaati ile sarsılmıştır. Fraktal kelimesini Weierstrass bu cins eÄŸriler için ilk defa kullanmıştır.

Matematik anlamda ilk çalışılan fraktal, Cantor Cümlesidir. Cantor (1845-1918) Halle Üniversitesi'ndeyken matematiÄŸin temel konularından olan ve günümüzde Cümle Teorisi olarak adlandırılan alanı kuran bir Alman matematikçidir.

Cantor cümlesi ile ilgili ilk çalışma 1883 de basılmış  [G. Cantor, Über Unendliche, lineare punktmannigfaltigkeiten V, Mathematische Annalen 21 (1883) 545-591] ve bazı özel cümleler için örnek olarak gösterilmiÅŸtir. Cantor cümlesi hiçbir yerde yoÄŸun olmayan, mükemmel (perfect) alt cümlelere bir örnektir. Fraktalların tarihi geliÅŸiminde Cantor, Sierpinski, Von Koch, Peano gibi matematikçiler tarafından oluÅŸturulan fraktallar matematiksel canavarlar olarak adlandırılır. Matematiksel canavarların bahçesinde veya ilk fraktalların ortaya çıktığı zamanlarda Cantor cümlesi görünüÅŸ açısından diÄŸerlerinden daha az gösteriÅŸli olmasına ve diÄŸerlerine göre doÄŸal yoruma daha uzak olmasına raÄŸmen oldukça önemlidir. Cantor cümlesinin, matematiÄŸin pek çok alanında özelikle Kaotik Dinamik Sistemlerde önemli rol oynadığı ve pek çok fraktallar (Julia cümleleri gibi) için de gerekli bir model olduÄŸu görülmektedir.

Etrafımızda, parlak, tuhaf, güzel ÅŸekilli cisimler görürüz. Bunlara Fraktal denir. Gerçekten bunlar nedir?

Ä°nternette fraktallar hakkında çok fazla bilgi vardır, fakat bu bilgilerin büyük kısmı ya güzel resimler veya yüksek seviyeli matematiksel kavramlarla ilgilidir. Dolayısıyla kolayca anlaşılır bir ifade ile diyebiliriz ki fraktallar tuhaf  resimleri olan cisimler, matematiksel nesnelerdir. Okulda karşılaÅŸtığımız matematiÄŸin çoÄŸu eski bilgilerdir. ÖrneÄŸin, geometride karşılaÅŸtığımız çemberler, dörtgenler ve üçgenler M.Ö. 300 üncü yıllarında Öklid tarafından ortaya konulmuÅŸtur. Buna raÄŸmen Fraktal Geometri daha çok yenidir. Fraktallar üzerinde matematikçiler tarafından araÅŸtırmalar son 25 yıldır baÅŸlamış bulunmaktadır.

VON KOCH EÄžRÄ°SÄ°

 Burada bir doÄŸru parçası ile baÅŸlıyoruz. DoÄŸru parçasını üç eÅŸit parçaya ayırıyoruz ve ortadakini alıyoruz. Onu bir eÅŸkenar üçgen ÅŸeklinde dışa doÄŸru tamamlıyoruz. Böylece dört eÅŸ doÄŸru parçasından oluÅŸan bir kırık çizgi elde etmiÅŸ oluyoruz. Buna motif veya oluÅŸturucu denir. EÄŸer öncü doÄŸru parçası 1 uzunluÄŸunda seçilirse, motif her biri  uzunluklu dört parçadan oluÅŸur. Dolayısıyla motif'in toplam uzunluÄŸu  olur.

Benzer biçimde dört parçadan her birini öncü kabul ederek aynı iÅŸlemle birer motif haline getiririz. Böylece 2. adımdaki ÅŸekli elde ederiz. Bu son halde  eÅŸ doÄŸru parçası yer alır.

Bu eÄŸrinin total uzunluÄŸu olur. Benzer ÅŸekilde bir adım daha devam edilirse 3. adımda  doÄŸru parçası elde edilir. Her birinin uzunluÄŸu   olan eÅŸ doÄŸru parçasından oluÅŸan bir eÄŸridir. Bu eÄŸrinin toplam uzunluÄŸu olur.

Bu fraktalın boyutu : Boyutu D ile gösterirsek    ile hesaplanır. Burada N fraktalın

oluÅŸumundaki  parça sayısını ve a da her parçanın uzunluÄŸunu göstermektedir. 2. Åžekle göre  dür. 1.Åžekle göre   olduÄŸundan   olur. 3.Åžekle göre   ve  olduÄŸundan   olur. 4. Åžekle göre  ve  olduÄŸundan  olur. O halde

        (aynı)

veya

dır. Limit halde, öncü doÄŸru parçasının bütün orta parçaları hızlı bir ÅŸekilde uzaklaÅŸacak ve geriye tam bir Cantor Cümlesi kalacak. O halde Koch EÄŸrisi de kendine benzerdir. Her bir küçük parça bütünün bir minyatür kopyası olacaktır. Bu nedenle Koch EÄŸrisi de bir Cantor Cümlesi olacaktır.

KOCH KARTANESÄ°                       

Üçgenlere ayrılarak bir kafes biçiminde çizilmiÅŸ bir sayfa kağıt alalım.

I.  Adım: GeniÅŸ bir eÅŸkenar üçgen çizelim.

II. Adım: Altı adet sivri köÅŸesi olan bir yıldız elde etmek için:

Üçgenin bir kenarını üç eÅŸit parçaya ayıralım ve ortadaki parçayı alalım.

2. BoÅŸta kalan iki uca aldığımız bu parçadan birer tane baÄŸlayalım ve uçlarını üçgenin dış tarafında birleÅŸtirelim.

3. Bu iÅŸi eÅŸkenar üçgenin diÄŸer iki kenarı üzerinde de yapalım. Böylece eÅŸkenar üçgenden altı köÅŸeli bir yıldız elde etmiÅŸ oluruz.

Ortaya çıkan bu yıldızın sahip olduÄŸu altı eÅŸkenar üçgenin her birinde II. Adım tekrarlanarak ikinci tekrardaki ÅŸekli elde ederiz.

Bu iÅŸe devam edersek çevre uzunluÄŸu sonsuz olan bir grafik  elde ederiz . Åžu halde KOCH  Kartanesinin  ilginç karakteristiÄŸi onun çevresidir. Normalde, bir geometrik ÅŸeklin çevresini büyütürseniz alanını da  büyütmüÅŸ olursunuz. EÄŸer çevresi çok uzun olan bir kare alırsanız alanı da çok büyük olan bir kare almış olursunuz. Åžimdi burada ne olduÄŸuna bakalım:

Yaptığımız iş şu idi:

Bir eÅŸkenar üçgenin bir kenarını üç eÅŸit parçaya böldük ve ortadakini çıkardık.

Çıkardığımız parça ile eÅŸit uzunluklu iki parçayı bir   V  harfi gibi birleÅŸtirerek üçgenin kenarında boÅŸ kalan iki ucu baÄŸladık.

Bu iÅŸi üçgenin her kenarı için de yaptık. Ve böylece devam ettik.

Bu fraktalın boyutu:  2.Åžekle göre   ve  olduÄŸundan  boyut formülünün kullanırsak  dır.

TERS KARTANESÄ° 

 Bu yeni fraktal Koch Kartanesinin ilginç bir deÄŸiÅŸimi olacak.

Büyük bir eÅŸkenar üçgenle baÅŸlayalım. EÄŸer üçgenlerle kafeslenmiÅŸ bir kağıt kullanırsanız üçgeninizin kenarlarını 9 kafes uzunluÄŸunda (veya 3 ün baÅŸka katları olabilir) seçin.

I. Adım: Üçgenin bir kenarını üç parçaya bölelim ve ortadaki parçayı alalım.

Bu parçalardan bir tane daha bularak V ÅŸeklinde ekleyip çıkardığımız yeni üçgenin içine doÄŸru dolduralım.

Üçgenin geri kalan iki kenarına da aynı iÅŸlemi uygulayalım.

Böylece bir fırıldak ÅŸekli elde etmiÅŸ oluruz.

II. Adım: Bu metodu fırıldakta yer alan yeni üçgenlerle tekrarlayalım. Böylece yukarıda ÅŸekiller dizisini elde ederiz.

   Bu fraktalın Boyutu:  Koch Kartanesinin ki ile aynıdır.

SÄ°ERPÄ°NSKÄ° ÜÇGENÄ°

Polonyalı matematikçi VACLAV SÄ°ERPÄ°NSKÄ° (1882-1969) 1916 yılında, daha sonra kendi adıyla anılan ve Sierpinski Üçgeni veya Sierpinski Åžapkası (Sierpinski Gasket) veya Sierpinski Kalburu (Sierpinski Sieve)  da denen bir fraktal tanıttı. Bu ÅŸeklin 12.yüzyılda bir kilisede süsleme olarak çizili olduÄŸu da biliniyor.

ÖrneÄŸin, üçgen gibi alışılmış bir geometrik ÅŸekil alalım ve üzerinde daha karışık bir yeni ÅŸekil elde edecek biçimde belirli bir iÅŸlem yapalım. Bu iÅŸlemi, aynen uygulamaya devam ettikçe daha karışık bir ÅŸekil elde ederiz. Bu iÅŸlemi tekrar tekrar uygulamaya devam edelim. O zaman, yukarıda ÅŸekli görünen ve Sierpinski Üçgeni denen meÅŸhur fraktal elde edilir.

I. Adım :  Kenar uzunluÄŸu 2 birim olan bir eÅŸkenar üçgen çizelim. Her kenarının orta noktalarını iÅŸaretleyelim ve bu orta noktaları birleÅŸtirelim. Böylece dört tane yeni eÅŸkenar üçgen elde etmiÅŸ oluruz. Merkezde kalan üçgeni karalayalım ve sonra da merkezdekini kesip atalım.

II. Adım:  Kenar uzunluÄŸu 4 birim olan bir eÅŸkenar üçgen çizelim. Kenarlarının orta noktalarını birleÅŸtirelim. Elde edilen dört yeni eÅŸkenar üçgenden merkezdekini  birinci adımda olduÄŸu gibi karalayalım. Sonra da köÅŸelerde yer alan ve karalanmamış olan üç adet üçgenin her birini aynı iÅŸleme tabi tutalım.

III. Adım : Kenar uzunluÄŸu 8 birim olan bir eÅŸkenar üçgen çizelim. Yukarıdaki iÅŸlemleri aynen tekrar ederek Sierpinski Üçgenini tamamlayalım. Benzer ÅŸekilde boyama iÅŸini de yapalım. Boyanmış olanları kesip çıkaralım. Böylece 1 adet büyük, 3 adet ortanca ve 9 adet küçük ve boyanmış eÅŸkenar Üçgene sahip olacağız.

IV. Adım:  Bir duvar kağıdından bu iÅŸi yapalım. Yukarıdaki adımları sırasıyla takip ederek Sierpinski Üçgenini tamamlayalım.

Sierpinski Üçgeni pür matematik alanında bir zihinsel üründür. Benzer ÅŸekilleri deniz kabuÄŸunda ve hücre çoÄŸalmalarında da görebiliriz.

Bu fraktalın Boyutu:  ve  olduÄŸundan  boyut formülüne göre  dır.

PASCAL ÜÇGENÄ° VE SÄ°ERPÄ°NSKÄ° ÜÇGENÄ° ARASINDAKÄ° Ä°LÄ°ÅžKÄ°

       Blaise Pascal'ın sayılara ait üçgen modelini hatırlayınız. Bu üçgeni yukarıdaki ÅŸekilde görüyorsunuz. Bu üçgene Pascal Üçgeni denir.

Pascal üçgenindeki küçük üçgenlerden içinde çift sayı bulunanları boyayalım. Ortaya çıkan Pascal Üçgenini yukarıdaki üçgenle karşılaÅŸtıralım. Böylece Pascal Üçgeninden Sierpinski Üçgenini elde etmiÅŸ oluruz.

SÄ°ERPÄ°NSKÄ° HALISI

I. Adım:  Kenar uzunluÄŸu 9 birim olan bir kare alalım. Kenarlarının her birini üçer eÅŸit parçaya ayıralım. Karşılıklı olarak bu ayırım noktalarını birleÅŸtirelim.

II. Adım:   OluÅŸan dokuz eÅŸ kareden merkezdekini kesip çıkaralım.

III. Adım:  Geri kalan sekiz eÅŸ karenin her biri için aynı iÅŸi tekrarlayalım.

IV. Adım:  Elde edilen ÅŸekle aynı metodu tekrar  uygulayalım.

Sonuçta elde edilen  ÅŸekil çoÄŸu zaman Cantor cümlesinin bir genellemesi olarak görülür.

Bu fraktalın boyutu: I. Adıma göre   ve  olduÄŸundan  dır.

CANTOR ORTA ÜÇLÜLERÄ°NÄ°N CÜMLESÄ°

Cantor Orta Üçlülerinin Cümlesi, birim doÄŸru parçasının üç eÅŸit parçaya bölünmesi ve ortadaki üçte bir parçasının atılması, daha sonra geriye kalan iki parçanın da aynı iÅŸleme tabi tutulup ortalarındaki üçte birlik parçalarının atılması ve tekrar geriye kalan dört parçanın her biri için aynı iÅŸlemden sonra ortadaki parçalarının atılması ve bu iÅŸleme devam edilmesiyle oluÅŸturulur.

Cantor cümlesinin kutu-sayma boyutunu hesaplamak için, git gide küçülen kutularla Cantor cümlesini örteriz.

Bu fraktalın boyutu:             ( Çünkü ilk ÅŸekle göre   ve  dır.)

DiÄŸer bir  kutu sayma hesabına göre :          

ve genel olarak

bulunur.

Bu fraktalın kutu-sayma boyutunu hesaplamak oldukça kolaydır.

Buradan       bulunur.

PÄ°SAGOR AÄžACI

Bitki fraktallarının oluÅŸumuna ait  bir yol  Pisagor AÄŸacı  yoludur, bu yola fraktal gölgelik de denir. Bu yol, doÄŸruların ayrılmasından ibarettir, dallanmaya çok benzerdir. DoÄŸrular yerine kareler ve üçgenler kullanılarak aÅŸağıdaki ÅŸekle benzer bir oluÅŸum ortaya çıkar.

         Bu cins bitki fraktallarının en önemli özeliÄŸi uç noktalarının irtibatlı oluÅŸudur. Dalların uç noktaları bir yüzey üzerinde birleÅŸirler, tıpkı kara lahanada olduÄŸu gibi.

 Bir diÄŸer yol da tekrarlayan fonksiyon fraktallarında olduÄŸu gibi, bir eÄŸrelti otunu oluÅŸturan yoldur.

KESÄ°RSEL BOYUTUN DOÄžUÅžU

Bir noktanın boyut'u yoktur, uzunluÄŸu, geniÅŸliÄŸi hatta yüksekliÄŸi de yoktur. AÅŸağıdaki  ÅŸekli ne kadar büyük çizilirse çizilsin bir nokta olduÄŸu bilinirse noktanın ne olduÄŸu malum olduÄŸuna göre bu ÅŸekil bir nokta gösterir ve boyutu  dır.

Bir doÄŸrunun boyutu 1 dir, bu boyut onun uzunluÄŸuna karşılık gelir. DoÄŸrunun da geniÅŸliÄŸi ve yüksekliÄŸi yoktur. Fakat uzunluÄŸu sonsuzdur.

GeniÅŸliÄŸi  olan fakat boyu sonsuz olan bir doÄŸru nasıl çizilir? Bu öÄŸrenme iÅŸinin sonucu olarak bilinen bir ÅŸeydir.

Bir düzlem iki boyutludur, bunlar uzunluk ve geniÅŸliktir, fakat derinlik (ya da yükseklik) yoktur.

Düzlemi, masanın üst yüzü olarak düÅŸünürseniz uzunluÄŸunu ve geniÅŸliÄŸini sınırlamayız.

Uzay, öyle büyük fakat boÅŸ bir kutudur ki bu kutunun boyu, eni ve derinliÄŸi (yüksekliÄŸi) her yönde istenildiÄŸi kadar geniÅŸletilebilir. Dolayısıyla uzay 3 boyutludur. Elbette uzayı aÅŸağıdaki kutu yerine bir altıgen prizma ile de temsil edebilirdik.

Fraktallar, kesirsel boyutlara sahip olabilirler. ÖrneÄŸin  fraktal 1.6 veya 2.4 boyutlu olabilir. Bunun neden ve nasıl böyle olabileceÄŸini görelim.

Sierpinski Üçgenini ele alalım. Bunun ilk fraktal örneÄŸi olduÄŸunu biliyoruz. Bu, gerçekten 1 in yaklaşımlarından sadece bir tanesidir.

Åžimdiye kadar verdiÄŸimiz örneklerde de gördüÄŸümüz gibi fraktallar sonsuz adımlardan oluÅŸan bir algoritmanın sonucu olarak ortaya çıkarlar. AÅŸağıdaki ÅŸekilde bu adımlardan sadece üç tanesini görüyorsunuz. Dolayısıyla Sierpinski Üçgeni denen fraktal içinde giderek küçülen sonsuz çoklukta küçük üçgenler vardır.

Fraktalların kesirli boyutlara nasıl sahip olduklarını görebilmek için önce genel olarak boyut demekle neyi kastettiÄŸimizi görelim.

Bir doÄŸru parçası ve onun uzunluÄŸunun  iki katındaki diÄŸer bir doÄŸru parçasından oluÅŸan bir kendine benzer ÅŸekli ele alalım. UzunluÄŸu iki misli almakla esas doÄŸru parçasının iki kopyasını almış olduk.

DiÄŸer bir kendine benzer ÅŸekil olarak  tipinde bir kare ile onun uzunluÄŸunun ve geniÅŸliÄŸinin 2 ÅŸer katlarından oluÅŸan diÄŸer bir kareyi ele alalım. Böylece esas karenin dört kopyasını elde etmiÅŸ olduk. Demek oluyor ki kenarları katlama iÅŸi bize dört kopya verdi.     

Åžimdi de  tipinde bir küp alalım. UzunluÄŸunu, geniÅŸliÄŸini ve yüksekliÄŸini katlayalım. Böylece esas küpün sekiz kopyasını elde etmiÅŸ oluruz. Demek ki bu defa katlama iÅŸi bize sekiz kopya vermiÅŸ oldu.

Bu bilgileri bir tabloda toplayalım. Burada   bir model görüyoruz. O da ÅŸudur, boyut üs'dür. Demek ki kopya sayısını biliyor isek onu 2 nin üstel kuvveti olarak ifade ederiz ve bu üs bize boyut olarak gelmiÅŸ olur.

Yukarıdaki tabloya bir satır daha ekleyelim.

Åžimdi artık, Sierpinski Üçgeni denen fraktal'ın boyutunu verebiliriz. Kenar uzunlukları 1 er cm olan bir Sierpinski Üçgeni ile baÅŸlayalım. Kenarların uzunluklarını katlayalım. Atılan üçgenler Sierpinski Üçgeninin bir parçası olmadıklarından (onlar birer deliktirler) bu katlama iÅŸi bize üç kopya verecektir.       O halde yazabiliriz, burada  boyuttur. O halde buradan olur.  ve  olduÄŸuna göre  deki  deÄŸeri 1 ile 2 arasındaki bir deÄŸerdir. Bunu da tablomuza ekleyelim.                                                                                                                                                     

O halde Sierpinski Üçgeninin boyutu 1 ile 2 arasındaki bir sayıdır. Hesap makinanız yardımı ile  eÅŸitliÄŸinde  ye 1.1 verirseniz, 3 yerine 2.143547 ve 3 e daha yakın bir deÄŸer için  ye 1.2 verirseniz, 3 yerine 2.2974 elde edersiniz. Bu ikincisi 3 e daha yakındır. Bu ÅŸekilde devam ederseniz  ye daha uygun bir deÄŸer bulursunuz. 3 e yakın deÄŸeri veren  sayısı Sierpinski Üçgeni denen fraktal'ın boyutudur, bu da  dir. Bu da bize fraktalların boyutlarının nasıl birer kesirli sayılar, kesirli boyut olabileceklerini göstermektedir.

KOMPLEKS TEKRARLAMA(Dinamik sistem)

   Kompleks sayıları kullanarak Mandelbrot Cümlesini ve Julia Cümlelerini oluÅŸturmak mümkündür. Bunun için  ve  kompleks sayılar olmak üzere

 dönüÅŸümü esas alınır.  kompleks sayısından baÅŸka bir  kompleks sayısı daha alalım ve  kompleks sayılarının dizisini

olarak yazalım. Bu yolla Mandelbrot Cümlesi ve Julia Cümleleri oluÅŸturulabilir. Julia tipindeki cümleler ile Mandelbrot Cümlesi birbirinden ayırt edilebilir. Bu metodu kısaca açıklayalım.

Ä°lk olarak kompleks sayılar kullanmadan formülasyon hazırlanır.  kompleks sayısı  ve  reel sayılarının bir ikilisi olarak düÅŸünülür  ve  kompleks sayısı da reel sayıların belli bir  iklisi olarak alınır. O zaman  dönüÅŸümü,

 olduÄŸundan     dinamik sistemini verir.

JULÄ°A TÄ°PÄ°NDEN CÜMLELERÄ°N AYRILMASI

   Her bir   sabit kompleks sayısı için  ile gösterilen bir Julia cümlesi vardır. EÄŸer  ile gösterilen doldurulmuÅŸ Julia cümlesini tanımlarsak bunu tanımak kolaydır. Düzlemin her bir  noktası için

genel ifadesi yardımı ile

dizisi elde edilir. EÄŸer dizi sonsuza gitmiyorsa  dir, eÄŸer dizi sonsuza gidiyorsa  dir. Örneklere geçmeden önce  nin tanımının üç bilgisayar görünümünü verelim.

1. Matematikte her ne kadar düzlemin bütün  noktalarını ele alabiliyorsak da pratikte kompleks düzlemin sadece bir parçasını düÅŸünürüz ve bu düzlem parçasının içinde  ların sonlu bir kolleksiyonunu alırız. Resimlerin büyüklüÄŸü nedeniyle her bir küçük bölgenin merkezini  olarak alırız. ÖrneÄŸin  ebadındaki bir düzlem parçası için  adet kutucuk gerekir.

2. Bir dizi sonsuza nasıl gider? ÖrneÄŸin dizideki bir elemanının merkezden uzaklığı 2 den büyük oluyorsa dizinin diÄŸer elemanlarının orijinden uzaklıkları sonsuz olarak alınır. Bu demektir ki dizi sonsuza gidiyor. O zaman merkezden uzaklıkları 2 ve 2 den küçük kalacak ÅŸekildeki diziler sonsuza gitmiyor.

3. Kabul edelim ki  lerin hepsinin orijinden uzaklığı 2 olsun. Bu durumda dizinin sonsuza gitmeyeceÄŸini söyleyemeyiz, çünkü belki   ün orijine uzaklığı 2 den büyük olabilir. Bu durumda  bir seçim yapmalıyız. Tekrarlamanın bir  maksimum sayısını seçeriz. EÄŸer  lerin hepsi orijinden 2 uzaklığında iseler o zaman dizinin sonsuza gitmediÄŸini söyleyebiliriz ve dolayısıyla  dir deriz. Böylece bazı noktaların   ye ait olduklarını kabul etmiÅŸ oluruz. Bu kabulde en az  hata yapmış olduÄŸumuz en büyük   sayısı önemlidir. DiÄŸer yandan bu en büyük  sayısı da bilgisayarın daha çok zamana ihtiyacını gerektirir.

Bu algoritma hangi küçük kutucukların  ye ait merkezlere sahip olduÄŸunu belirtir. Bu kutucukları siyah ile boyarız. EÄŸer bir baÅŸka  ile baÅŸlayan dizi sonsuza gidiyorsa  'ı  merkez kabul eden kutucuÄŸu baÅŸka bir renk ilFe boyarız. Böylece orijinden uzaklığı 2 den büyük olan kaç deneme yaptığımızı da göstermiÅŸ oluruz.

ÖrneÄŸin, ilk deneme-de eÄŸer bir miktar tekrarla-mayı kırmızı ile boyadı isek, sonra ikinci deneme-dekileri de portakal  rengin-de boyayalım,..., böylece devam edelim. Bu durumda aÅŸağıdaki renkli görüntü ortaya çıkar. Bunu elde edebilmek için bilgisayar yukarıdaki dinamik sistemi milyonlarca defa uygulamıştır.

Kaynak: Matder