Bu yazıda matematikteki çok özel bir sayı olan altın orandan, bu sayının tarihçesi, sanat, estetik uygulamalarının yanı sıra en önemli özelliÄŸi olan kâinattaki uygulamalarından bahsedeceÄŸiz.

Ä°nsanlar bazı dikdörtgenleri diÄŸerlerine tercih ederler. ÅžiÅŸman ve kare olanlarından, zayıf ve uzun olanlarına bir dizi dikdörtgen gösterildiÄŸinde, kenarları belli bir orana sahip olanı genelde tercih edilir. Bu oran altın oran olarak bilinen sayıdır. Bu sayı estetiÄŸin temel sayısı olup, tarih boyunca Yunan mimarisinden Mona Lisa'nın yüz resminin çerçevesine kadar kullanılmıştır.

Bu sayıyla sadece estetikte deÄŸil, bilimde de karşı-laşılmaktadır. Physical Review B dergisinde yeni yayımlanan bir makalede, bazı metallerin özelliklerinde bu sayıya rastlanıldığı rapor edilmiÅŸtir. Altın orana, bitki saplarının üzerinde yaprakların yerleÅŸtirilmesinde, ayçiçeÄŸinin çekirdeklerinin diziliÅŸinde, deniz kabuklarının ve galaksilerin spirallerinde, hattâ dönen karadeliklerin özelliklerinde rastlanılmaktadır. Bu sayı kâinatın hemen her yerindedir. 

Altın oran, ilk önce MÖ 300'lü yıllarda Yunan matematikçi Öklid tarafından tanımlanmışsa Pisagor?un takipçileri tarafından muhtemelen iki yüzyıl önce bilinmekteydi. Öklid bu oranı iki eÅŸit olmayan parçaya bölünen doÄŸru cinsinden tanımlamıştı . EÄŸer uzun parçanın kısa parçaya oranı, bütün doÄŸrunun uzun parçaya oranına eÅŸit ise, doÄŸru altın oranda bölünmüÅŸ demektir. Sayısal olarak bu oran; 1,6180339887? ÅŸeklindedir.

Bu oran bazı ilginç matematikî özelliklere de sahiptir. Sayının karesini almak için sayıya 1 eklemeniz yeterlidir. Çarpma iÅŸlemine göre tersi için ise, sayıdan 1 çıkarmanız gerekir. Bu özelliÄŸinden dolayı elinizdeki altın dikdörtgenden (kenarları oranı altın oran olan) bir kenarı kısa kenar olan bir kareyi kesip ayırırsanız geriye yine altın bir dikdörtgen kalacaktır.

DiÄŸer bir özellik ise ÅŸöyledir: Herhangi iki sayıyı seçerek bir sayı dizisi baÅŸlatalım. Bu sayıların toplamı dizinin üçüncü elemanı olsun. Dördüncü eleman iki ve üçüncü elemanın toplamı, beÅŸinci eleman ise, kendisinden önceki iki elemanın toplamı olsun. ÖrneÄŸin 7 ve 11 sayıları ile baÅŸladıysanız dizi 7, 11, 18, 29, 47, 76 ÅŸeklinde devam edecektir. Dizinin 20. sayısını 19. sayıya böldüÄŸünüzde yaklaşık altın oran elde edilecektir. Matematik diliyle ifade edersek (an / an-1 )=altın oran olacaktır.

Tabiatta çok fazla karşılaşılan Fibonacci sayı dizisi bu mantıkla elde edilmektedir. Dizi ÅŸöyledir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55? Dizinin ilerleyen sayılarında alınan bir terimin bir önceki terime oranı altın orana yakınlaÅŸmaktadır. Bu dizi deniz kabuÄŸu spirallerinin oranlarını ve ayçiçeÄŸindeki çekirdeklerin diziliÅŸini belirler.

Sanatçı ve mimarların altın orana raÄŸbeti, Ä°talyan rahip ve matematikçi Luca Pacioli'ye dayanmaktadır. 15. yüzyılda Pacioli üç ciltlik 'Kutsal Oran' adlı bir risale yayımlamıştı. Altın Oranın ondalık açılımındaki rakamların grup halinde hiç tekrar etmemesini Allah'ın kavranamayan mahiyetine benzetmiÅŸti.

Pacioli'den sonra birçok ressam, mimar ve müzisyen bu oranı eserlerinde kullanmıştır. Bazı meÅŸhur örnekler: Bestekâr Debussy, Bartok ve mimar Le Corbusier...

Altın oranın uygulama alanlarından birisi olan yaprakların dikey bir bitki sistemindeki diziliÅŸi olan phyllotaxis'i ele alalım. Her yeni yaprak büyürken, bir altındaki yapraktan belli bir açı farkı ile çıkar. Bu açı büyük çoÄŸunlukla 137,5 derecedir. 360 derecenin altın oranda bölünmesi ile 137,5 ve 222,5 derecelik açılar elde edilir.

Phyllotaxis'te neden altın oran çıkmaktadır? Bu tamamiyle verimlilikle ilgilidir. Sapın ucundaki her bir yeni yaprak güneÅŸ ışığını alırken önceki yaprakları en az ÅŸekilde gölgede bırakmalıdır. Altın oran ÅŸeklindeki açı bölünmesi ile sap etrafına spiral ÅŸeklinde yerleÅŸtirilen yapraklar, ideal konumları ile güneÅŸ ışığından maksimum istifadeyi elde edebilmektedir.

EÄŸer birbirini takip eden yapraklar 120 derece açıyla yerleÅŸtirilmiÅŸ olsalardı, yukarıdan bakan birisi yaprakları 3 sütun halinde görecekti ve bu sütunların arasında büyük boÅŸluklar oluÅŸacaktı. Bu ise güneÅŸ ışınlarının verimli ulaÅŸmasını engelleyecekti.

EÄŸer açı 50 derece olsa idi, üç sütundan fazla sütun olacaktı; ama yine boÅŸluklar bulunacaktı ve az bir yaprak sayısından sonra birbirinin tamamen altına rastlayan yapraklar bulunacaktı. Fakat 137,5 derecelik açıda boÅŸluklar asgariye indirilmekte ve ışık alma kapasitesi düÅŸürülmeden maksimum sayıda yaprak yerleÅŸebilmektedir.

Altın orana malzeme biliminde de rastlanıldı. Kristaller gibi tamamen düzgün yapıları olmayan kuasikristallerin büyümesini ele alalım. Bu kristaller 5 katlı simetriye sahiptir ve tam dönüÅŸün beÅŸte biri kadar döndürüldüÄŸünde aynı gözükürler. Bu kristallerin 1984'te keÅŸfedilmesinden beri birçok araÅŸtırmacı bunları büyütmeye ve garip özelliklerini incelemeye baÅŸlamıştır.

New York Eyaletindeki Brookhaven Ulusal Lâboratuarı?ndan Tanhong Cai bu tipteki iki kristalin büyütülmüÅŸ görüntülerini inceledi. Kristaller, Aluminyum-Bakır-Demir ve Aluminyum-Paladyum-Manganez alaşımlarına aitti. Kristal ÅŸekillerinde düzlem alanların keskin düÅŸey basamaklarla birbirinden ayrıldığını gördü. Basamaklar iki baskın ölçüde çıkmaktaydılar ve bu iki ölçünün oranı altın oranına eÅŸitti. Bu buluÅŸ 2002 yılına ait yeni bir buluÅŸtu.

EÄŸer AC'nin CB'ye oranı, AB'nin AC'ye oranına eÅŸitse, doÄŸru altın oranda bölünmüÅŸ demektir. Kenarlarının oranı, altın oran olan bir dikdörtgeni sürekli altın oranda bölerseniz, deniz kabuklarında ve galaksilerde gördüÄŸümüz spiral ÅŸeklini elde edersiniz. (New Scientist, 21/28 December 2002)

Altın orana sadece dünyada rastlanmamaktadır. Spiral ÅŸeklindeki galaksilerde de bu orana rastlanmıştır . Makro âlemdeki diÄŸer bir uygulama da karadeliklerdir. 1989'da Adelaide Üniversitesinden Paul Davies dönen karadeliklerin termodinamiÄŸinin altın oranla münasebetli olduÄŸunu keÅŸfetti.

Hemen her ÅŸey pozitif özgül ısıya sahiptir. Böylece enerji bıraktıklarında soÄŸurlar. Dönen bir karadelik ise, negatif özgül ısıya sahip olabilir; böylece enerji bıraktığında daha sıcak olur. KaradeliÄŸin özgül ısısının negatif veya pozitif olması, karadeliÄŸin kütlesine ve dönme hızı ile ilgili dönme parametresine bağımlıdır.

Davies, karadeliÄŸin kütlesinin karekökünün dönme parametresinin kareköküne, oranı altın orana eÅŸit olduÄŸunda özgül ısısının negatiften pozitife deÄŸiÅŸtiÄŸini buldu. Yani bir ölçüde altın oran karadeliÄŸin karakterini belirliyordu.

 

Çam kozalağında altın orandan elde edilen spiralleri görmek mümkündür.

Altın oranın tabiatta ve canlılarda sayısız örnekleri vardır. Parmak ucundan baÅŸlayıp, elin içine doÄŸru gidildikçe her bir kemiÄŸin bir öncekine oranı altın oran çıkmaktadır.

Çam kozalaklarında, altın oran yöntemi ile elde edilen spiralleri görmek mümkündür . Echinacea purpura çiçeÄŸinde de bu spiraller tespit edilmiÅŸtir . Bu konudaki sayısız örneklerden son bir örneÄŸi, karnabahar sebzesini ve spirallerini verelim.

GeliÅŸmekte olan bilim sayesinde altın oranın kâinattaki yeni uygulamaları keÅŸfedilebilecektir. Malzeme bilimi ve karadeliklerle ilgili son buluÅŸlar, bu görüÅŸü teyit etmektedir.

Belki de bu oranın teknolojiye aktarılması ile daha verimli ve hayatımızı daha kolaylaÅŸtıracak ürünler kullanıma sunulabilecektir. Kâinatın içerisine serpiÅŸtirilmiÅŸ bu ve benzeri sırlar, düÅŸünce ufkumuzda yenilenmeye ve ilerlemeye vesile olabilir.

Prof.Dr. M.Sami POLATÖZ

 Kaynak

-Marcus Chown, Why Should Nature Have a Favorite Number, NewScientist, 21/28 December 2002, 55-56.