mm arrow Matematik makaleleri arrow Matematik Tarihi
Matematik Tarihi Yazdır E-Posta

Matematik tarihinde önemli yere sahip birçok matematikçi 

Muhammet ibni Musa al-Harazmi : Ömer Hayyam : Sarafeddin al-Tusi : Nasireddin Al-Tusi : Cemsit Al-Kasi

Leonhard Euler Laplace Joseph-Louis Lagrange Jean Le Rond D'Alembert

Euler, Berkley, Cauchy, Weierstrass, Riemann, Drichlet, Gauss, Öklid, Abel, Dedekind, Cayley, Grassman, Kummer, Fermat, Sylvester, Cantor, Zeno

 

 

{tab=8. yy -17.yy matematik} 

Muhammet ibni Musa al-Harazmi (780-850):

Isminden güney Özbekistan’da dogdugu anlasiliyor. Hayati ve nerelerde okudugu hakkinda güvenilir bir bilgi yoktur. 810 dan sonra Bagdat’ta Dar’ül Hikmet’in kütüphanecisi olarak çalismaya baslamis ve 4 kitap yazmistir. Bunlardan biri cografya, biri astronomi, biri aritmetik digeri de bir cebir kitabidir. Biz bu son ikisi hakkinda biraz bilgi verecegiz. Al-Harazmi’nin en ünlü kitabi “ Al-Cebir ve Al-Mukabele” dir. Bu “indirgeme ve denkleme” manasina gelen baslik, daha sonralari “Cebir” (veya Algebra) olarak kisaltilacaktir. Bu kitapta Al-Harazmi ikinci dereceden bir polinomu katsayilarinin isaretine göre 6 sinifa ayirarak, sistematik olarak, her sinif için, köklerin nasil bulunacagini “algoritmik” bir yaklasimla göstermektedir. Örnek olarak, bizim bu gün olarak yazacagiz bir polinomu seklinde yazmaktadir ve bu polinomun köklerini bulmak için adim adim ne yapilmasi gerektigini söylemektedir. Unutmamak gerekir ki o tarihlerde henüz negatif sayilar kullanilmiyor ve sayi uzunluk olarak düsünülmektedir. Müslümanlar, burada söz konusu olan dönemde (750-1450), bir istisna (Abu Waffa (940-998)) disinda, negatif sayilari hiç kullanmamislardir.

Al-Harazmi’nin, verilen bir polinomun kökünü bulmak için, izlemis oldugu adim adim yaklasima günümüzde “algoritmik” yaklasim denmektedir; bu sözcük Al-Harazmi’nin ismi bozularak türetilmistir. Al Harazmi, daha sonra, algoritmik olarak buldugu kökü geometrik olarak da bularak yaptiklarini dogrulamaktadir. Son olarak ta Al-Harazmi kitabinda, bu yöntemin miras hesaplarina pratik uygulamalarini vermektedir. Bu kitap 1140 larda Latinciye çevrilmis ve 1600 lere kadar bati okullarinda kullanilmistir. Bu eser, hakkinda çok tartisma olan bir eserdir. Kimilerine göre, cebir’in esas babasi Diofand’dir; Al-Harazmi’nin cebiri Mezopotamya matematiginden daha ileri düzeyde degildir. Bu da büyük ölçüde dogrudur. Kimileri ise, bu eserin her sey ile orijinal oldugunu savunmakta. Açik olan bir sey varsa, o da bu eserden sonra, matematikte “cebir” diye bir ana bilim dalinin ortaya çikmasidir. Önemli olan diger bir husus da, algoritmik yaklasim dedigimiz, bu kitabin yöntemidir. Al-Harazmi’nin diger kitabi bir “Hesap” kitabidir. Bu kitabin Arapçasi günümüze ulasmamistir; var olan bir Latince çevirisidir. Bu kitapta, Al- Harazmi bugün kullandigimiz Hind-Arap rakamlari olarak bilinen ( 1,2,...,9, 0) rakamlari tanitmakta; onlarla sayilarin nasil yazildigini, toplama, çarpma gibi islemlerin nasil yapildigini anlatmaktadir. Burada sifir bir “ bosluk dolduran sembol” olarak kullanilmistir, sayi olarak degil. Sayi olarak, sifir ilk kez, 876 de Hindistan’da kullanilmistir. Daha önce de kullanildigi hakkinda bilgiler vardir ama herkesin hem fikir oldugu tarih bu tarihtir. Negatif sayilarin da Hindistan’da 620 lerde kullanildigi bilinmektedir ama az-çok yaygin olarak kullanilmaya baslanmalari 1600 ler den sonradir.

Ömer Hayyam (1048-1131) :

Nisabur da doğan Ömer Hayyam, 1073 den sonra, Isfahan’da kurulan rasathanede, Selçuk hükümdari Melik Sahin “müneccim basi” olarak çalismaya baslamis. Zamanimiza Rubailerinden baska bir cebir kitabi ve astronomiyle ilgili çalismalarindan da bazi kisimlar kalmistir. Cebir kitabinda, üçüncü dereceden polinomlarin bir siniflandirmasini yaparak, konik kesitlerini kesistirerek, bu polinomlarin köklerini geometrik olarak bulmaya çalismistir. Ömer Hayyam astronom olarak, gözlem ve ölçümlere dayali, bir takvim reformu yaparak, yeni bir takvim (Celali takvimi) hazirlamistir. Bu gayeyle, Ömer Hayyam bir günes yilinin uzunluğunu 365.24219858156 gün olarak hesaplamistir. Simdi bilinen, bir yilin 365.242190 gün oldugunu ve her 70-80 senede virgülden sonraki 6. rakamin degistigini burada belirtelim.

Sarafeddin al-Tusi (1135-1213) :

Isminden, Iran’in Tus sehrinde dogdugu anlasilmaktadir. Muhtemelen Mesed yada Nisabur’da yetismistir. Sam, Halep, Musul ve Bagdat da matematik okutmustur. Önemli bir cebir kitabinin yazaridir. S. Al-Tusi de, Ömer Hayyam gibi üçüncü dereceden polinomlarin köklerini bulmak için ugrasmistir. Harazmi’nin izinden giden S. Al-Tusi, üçüncü dereceden denklemleri 25 sinifa ayirarak, cebirsel yaklasimla, onlarin köklerini bulmaya çalismistir. Bugünkü notasyonla, gibi bir denklemin belli bir aralikta çözümünün olabilmesi için, nin in maksimumu ile minimumu arasinda olmasi gerektigi anlayan S. Al-Tusi , bu ifadenin maksimumun bu ifadenin “türev” inin sifir oldugu yerde aramasi gerektigini anlamistir. Kimi yazarlara göre bu türevin kesfidir. Ne yazik ki o zaman bu kesfin degeri anlasilmamis, türevin farkina varilmamistir. Matematigin en önemli kesiflerinden olan türev, 1636 de Fermat tarafindan tekrar kesfedilecek ve bu da, analitik geometri ile beraber, kalkülüsün dogumuna neden olacak ve matematikte bir devrim yaratacaktir.

Nasireddin Al-Tusi (1201-1274) :

O devir Islam dünyasinin en büyük bilim adamlarindan olan N. Al-Tusi, Tus ve Nisapur’da okumustur. Mantik, Ahlak, Felsefe, Astronomi ve Matematik kitaplari yazmistir. Hayatinin önemli bir kismini, Hasan El-Sabahin örgütünün merkezlerinden biri olan, ve çok iyi bir kütüphanesi oldugu bilinen, Alamud kalesinde arastirma yaparak geçirmistir. Bu kale 1256 da Hülagü han tarafindan alindiktan sonra, Hülagü hanin müneccim basi olmus, 1262 den sonrada Marageh’de ( Güney Azerbaycan’da, Tebriz civarinda ) Hülagü hanin emriyle kurulan rasathanede arastirmalarini sürdürmüs ve bir ziç, Ziç-i-Ilhani’ yi hazirlamistir. Ziçler, astronomik hesaplar için gerekli olan, sinüs cetvelleridir. N. Al-Tusi’nin astronomi ile ilgili çalismalari, Batlamyüs’den sonra Copernicus’un çalismalarina kadar, astronomi hakkinda en önemli çalismalardan biri olarak kabul edilir. Matematikle ilgili en önemli çalismasi, düzlem ve küresel trigonometri ile ilgili çalismalaridir. Bu eserden sonra trigonometri, astronomi için bir araç olmaktan çikip, matematigin bir ana dali olmustur. Bunun disinda, Yunanca’dan çeviri çok sayida matematik kitaplarina izah ve yorumlar yazmis; bir sayinin n inci kökünü bulmak için çalismalar yapmistir. Batili matematikçi ve astronomicilerin, eserlerinden en çok yararlandiklari islam dünyasi bilim adamlarinin basinda N. Al-Tusi gelir.

Cemsit Al-Kasi (1380-1429) :

Kasan (Iran) da dogmustur. Kasan’da yetistigi anlasilan Al-Kasi, 1420 den itibaren ölene kadar, Ulug Bey ve Kadizade ile Semarkand’ ta Ulug Bey medresesinde ve rasathanesinde çalismistir. Timurleng’in torunu olan Ulug Bey (1393-1449) iyi bir matematikçi, bilim asigi bir hükümdardi. O tarihlerde Ulug Bey’ in medresesinde 60 civarinda zamanin en iyi bilim adamlari ders vermekte ve arastirma yapmaktadir; bu medrese, pozitif bilimlerin okutuldugu ve bilimsel bir sayginligi olan Islam ülkelerindeki son metresedir. Al-Kasi, Ulug Bey’le beraber, N. Al-Tusi’nin ziçlerinden de yararlanarak, Ziç-i-Hakani olarak bilinen Ulug Bey’in ziçlerini hazirlamistir. Bu ziç’te 1 den 90 dereceye kadar olan açilarin, birer dakika arayla, sinüsleri verilmistir. Bu da 60x90=5400 giris demektir. Her açinin sinüsü, virgülden sonra 8. haneye kadar verilmistir. Bu is bugünün imkanlariyla bile, kolayca yapilacak bir is degildir. Ayrica bu ziç, günes, ay ve gezegenlerin konumu ve hareketleri hakkinda detayli bilgi ve gözlem tablolari içermektedir. Al-Kasi muhtesem bir hesap yetenegi olan matematikçidir. Yari çapi 1 olan bir daireyi 3x2^28=805. 306. 368 kenarli bir poligonun içine oturtarak, pi sayisinin virgülden sonra 16 hanesini ( 10 ve 60 tabanli sayi sistemlerinde) dogru olarak vermistir. Bu rekor ancak 200 yil sonra kirilabilecektir. Al-Kasi, içeriginin zenginli, ispatlarinin açikligi ile orta çagin en iyi kitaplarindan biri olarak kabul edilen “Aritmetigin Anahtari” baslikli bir kitabin da yazaridir. Ondalik kesirlerle 4 islemin nasil yapilacagini açiklayan da Al-Kasi’dir.

Al-Kasi’nin ölümünden sonra Ulug Bey’e ziçlerini tamamlamasina ve gerekli izahlarin yazilmasina, Al-Kasi ve Kadizade’ nin ögrencisi olan, Ali Kusçu yardim etmistir. 1449 da Ulug Bey’in, devlet isleriyle ugrasmiyor, hayirsiz bilimle ugrasiyor diye öz oglu ve akrabalari tarafindan öldürülmesinden sonra, Ulug Bey’in medrese ve rasathanesi de çökmüstür. Bu Islam dünyasindaki son önemli pozitif bilim merkezinin sönmesidir. Bu son ismi geçen kisiler Islam dünyasinin matematikçi diyebilecegimiz son bilim adamlaridir. 1450 den 1930-40 lar’a kadar Islam dünyasinda orijinal bir çalisma yapmis ve matematikçi diye nitelendirebilecegimiz bir kisinin ismi bilim tarihinde geçmemektedir.

Müslümanlarin matematige katkilarini, bu konuda çok çeliskili yargilarin olmasi nedeniyle, degerlendirmek çok zordur. Müslümanlarin matematige katkilari kimi yazarlar tarafindan sifirlanirken, kimi yazarlar tarafindan da göklere çikartilmaktadir. Kimi yazarlara göre Müslümanlarin matematige hiç bir katkisi olmamistir; bütün yaptiklari bir buzdolabi görevi görmekten ibarettir. Yunanlilarin pisirdiklerini, Avrupalilar onu yiyecek düzeye gelene kadar saklamislar, günü geldiginde de Avrupalilar onu alip yemislerdir. Kimilerine göre ise, Müslümanlarin matematige ve astronominin gelismesine kapsamli özgün katkilari olmustur; bu gün batili bilim adamlarinin adini tasiyan bir çok teorem veya sonuç daha önce Müslümanlar tarafindan bulunmustur. Görülen o ki Müslümanlar sulayip büyüttükleri agaçlarin meyvelerini toplayamamislar; ve Müslümanlarin bilime katkilari yeteri kadar arastirilip degerlendirilmemistir. Bu isi yapanlarin çogunlukla yine batili bilim tarihçilerin olduklarini unutmamak gerek. Müslüman matematikçilerin Küresel geometriye, cebire, sayilar teorisine, trigonometri ve astronomiye özgün katkilari olmustur ve bu katkilar hiçte küçümsenecek ölçülerde degildir. Ayrica, insanligin ortak ürünü olan bilimin önemli bir halkasi, eskiyle yeniyi baglayan halkasi, Islam bilimidir. Bu halka olmadan, bilimin bugünkü düzeye gelmesi herhalde mümkün olmayacakti.

{tab=Klasik matematik} 

Klasik Matematik Dönemi :

1700- 1900 yillari arasini kapsayan ve matematigin altin çagi olarak bilinen, bu dördüncü dönem, klasik matematik dönemidir. 18. asirda matematige en önemli katkilari yapan bilim adamlarinin basinda Euler, Laplace, Lagrange ve D’Alembert’i sayabiliriz.

Leonhard Euler (1707-1783) Isviçre’de, Basel de dogmus, meslek hayatinin tamami Petersbourg ve Berlin’de geçmistir. Tarihin en üretken bilim adamidir. Kalkülüsün ortaya çikardigi olanaklari sayilar teorisinden, differensiyel denklemlere; differensiyel denklemlerden, mühendislik problemlerine... uygulayan Euler, 30.000 sayfadan fazla bilimsel eser üretmistir. Öldükten 50 sene sonra dahi, birikmis makalelerinin yayini sürmüstür. Euler’le matematik evrensel boyutlara erismistir. Bugün bile matematikçilerin yaptigi islerin bir çogunun temel fikri veya baslangici Euler’in çalismalaridir. Euler’le Analiz yeni bir bilim dali olarak temeyyüz etmistir; bu dalin büyük babalari Eudoxus ve Arsimed ise, babasi Euler’dir.

Laplace (1749-1827) Fransa’da, Normandia’ da dogmustur. Gök ve yer mekanigi hakkinda yazdigi 11 ciltlik eseri, bütün zamanlarda mekanik hakkinda yazilmis en kapsamli eserlerinden biridir. “Theorie Analytique des Probabilites” baslikli kitabi olasilik teorisinin ilk önemli eseridir.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Italya’da Turin’da dogmus, meslek hayatinin büyük bölümünü Berlin ve Paris’te geçirmistir. Italya’da dogmasina ragmen Fransiz matematikçisi olarak bilinir. Lagrange cebirsel denklemlerin çözülebilirligi, mekanik, differensiyel denklemler ve varyasyon hesabina önemli katkilar yapmis, fikirleri ve yöntemleri bugün de kullanilan bir bilim adamidir.

Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) Paris’te dogmus, Fransa’da yasamistir. D’Alembert kismi differensiyel denklemleri ilk inceleyen bilim adamlarindan biridir. Kismi differensiyel denklemler ve akiskanlar mekanigi ilgili çalismalari ve felsefi yazilari disinda, Diderot ile beraber editörlügünü yaptigi ünlü 28 ciltlik “Encyclopedie” nin matematik maddelerinin hemen hemen tümünü D’Alembert yazmistir. Bu eser Fransiz aydinlanmasinin temel eserlerinden biridir.

Bu yüzyilin matematigi çesitli, kapsamli ve fikir yönünden zengindir. En önemli zaaflari, kesinlik (rigor) eksikligi; yapilan islerin, günümüzün standartlarina göre, yarim yamalak, kusurlu ve eksik olusudur.

1800-1900 Arasi. 19. asir çok sayida, matematige önemli katkilari olmus, bilim adamin yasadigi bir asirdir.1800 lerin basinda matematik derin bir kriz içindeydi. Bunun nedeni, Fermat (1636) dan beri türevin taniminda, ve türevin ise karistigi bir çok yerde, sonsuz küçük (infinitesimal) kavraminin kullanilmasi ve matematikçilerin bunu çok tutarsiz bir sekilde kullanmalariydi. Bu tarihlerde henüz limit kavraminin olmadigini ve türevin limit vasitasiyla degil, "sonsuz küçük" kavrami kullanilarak tanimlandigini burada belirtmem gerekir. Bu tutarsizlik çok elestirilmis, özellikle de düsünür-din adami G. Berkley (1685-1753) nin matematikçilerin tutarsizligini ortaya koydugu 40 sayfalik bir elestiri kitabi derin etki yapmis, bir çok matematikçinin meslek degistirmesine ve matematige karsi tavir almalarina neden olmustur. 1800 basinda, fonksiyon kavraminin, son yüz yildir kullanila gelmesine karsin, henüz tam olarak tanimlanmamis olmasi ve matematikçilerin fonksiyonu ayni sekilde anlamamalari da baska bir anlasmazligin ve karmasanin nedeniydi. Yine,1800 lerin basinda süreklilik ve fonksiyon serilerinin yakinsakligi tam olarak anlasilmamisti; henüz düzgün süreklilik ve düzgün yakinsaklik kavramlari ortada yoktu.

Entegral kavrami türev kavraminin tersi olarak görülüyordu; türevden bagimsiz bir entegral ve entegrallesebilirlik kavrami yoktu. 1800 lerin basinda, bugün matematigin en önemli teorilerinden biri olan, kompleks fonksiyonlar teorisi henüz yoktu. Geometride, antik Yunan çagindan kalma ve çok ugrasilan bes sorudan ( Bunlarin ilk dördü, geometrik çizim yaparak, 1) bir açiyi üç esit parçaya bölmek. 2) Alani verilen bir dairenin alanina esit alani olan bir kare çizmek. 3) Hacmi verilen bir küpün hacminin iki katina esit hacmi olan bir küp bulmak; ve 4) bir dairenin içine, p sayisi asal olmak kaydi ile, hangi p ler için düzgün p-genler çizilebilecegini bulmak idi. 5. Soru, Öklid geometrisinin besinci postulati olan, "bir dogruya onun disindan bir ve yalniz bir paralel çizilebilir " postulatinin diger dördünün sonucu olarak elde edilip-edilemeyecegi ) idi. Bu sorulardan hiç biri, 4 cü soru disinda, ki o da Gauss tarafindan daha yeni çözülmüstü, çözülememisti. Cebirde, 5 ci dereceden polinomlarin köklerinin cebirsel ( köklü ifadelerle) çözülüp-çözülemeyecegi henüz bilinmiyordu. Cebir'in grup, halka, cisim, vektör uzayi gibi hiçbir yapisi henüz ortaya çikmamisti. Matris ve vektör kavramlari henüz yoktu ( 2 li ve 3 lü determinantlar 1680 lerden beri biliniyor). Cebirin temel teoremi olarak bilinen, D'Alembert-Gauss Teoremi ("Her polinomun en az bir kompleks kökü vardir" diyen teorem) henüz ispatlanmamisti. Matematiksel fizigin ana teoremleri henüz ortada yoktu; differensiyel geometri, topoloji gibi konular henüz dogmamisti.

1800 lerin basinda matematigin durumu kisaca bu idi. 1820 lerde, A. Cauchy (1789-1855) limit kavramini, bugünkü kullandigimiz sekliyle, tanimlayip, türevi, sürekliligi ve, sürekli fonksiyonlar için, entegrali, limit kavrami yardimiyla tanimlamasi, analizi, sonsuz küçük kavramindan kaynaklanan krizden kurtarmis ve daha saglam temeller üzerine oturtulmasini saglamistir. Cauchy'nin çalismalari sonucu, kompleks fonksiyonlar teorisi dogmus ve, Cauchy, B. Riemann (1820-1866) ve K. Weierstrass (1815-1884) gibi asrin büyük matematikçilerinin çalismalariyla, matematigin en temel teorilerinden birine dönüsmüstür.

G. Dirichlet'nin (1805-1859) 1830 larda fonksiyon kavramini bugün anladigimiz manada tanimlamasi matematigi baska bir kargasadan kurtarmistir. Bu da özellikle Fourier serileri hakkinda tartismalari sona erdirecek, Fourier serileri ile ilgili çalismalari tekrar baslatacaktir. Fourier serileri Analizin gelismesinde en önemli rolü oynayan, bir bakima modern matematigin dogusuna neden olan, gerek uygulamalari ve gerekse de matematikteki merkezi konumu açisindan, matematigin en önemli konularindan biridir.

Weierstrass ve ögrencilerinin çalismalari sayesinde, 1850 lerden sonra, düzgün süreklilik, düzgün yakinsaklik gibi analizin vazgeçilmez kavramlari ortaya çikacak, fonksiyon serilerinin yakinsakligi daha iyi anlasilacaktir.

F. Gauss’un (1777-1855) “ Cebir’in Temel Teoremi, ya da D’Alembert Teoremi” olarak bilinen teoremi ispatlamasi bu asrin baska bir önemli olayidir. Bu teorem bugün cisimler teorisinden spektral analize kadar bir çok teorinin temelinde olan bir teoremdir. Bütün zamanlarin en derin, en büyük bilim adamlarindan biri olarak kabul edilen Gauss’un, sayilar teorisi, differensiyel geometri, matematiksel fizik ve astronomiye katkilari bu asrin en önemli çalismalari arasindadir.

Bu asrin ve bütün zamanlarin en önemli matematikçilerinden biri olan Riemann kisa yasaminda, daha sonra her biri büyük bir teori olacak bir düzine konuyu baslatmis ya da onlara derin katkilar yapmis, matematige kavramsal bir bakis ve yaklasim getirmistir. Bunlardan bir kaçi: Riemann entegrali ve entegrallesebilirlik kavrami, Riemann yüzeyleri, Riemann geometrisi, differensiyel geometri, sayilar teorisi (Riemann hipotezi), kompleks analiz (Riemann yüzeyleri, Cauchy-Riemann denklemleri), cebirsel geometri, matematiksel fizik ve, daha sonralari topoloji ismini alacak olan, analysis situs tür.

Yine bu asirda, yukarida sözü edilen, antik Yunan çagindan kalma 5 sorunun besi de çözülmüstür. 1. ve 3. sorularin mümkün olmadigi bir Fransiz matematikçisi olan Wentzel tarafindan 1837 de ispatlandi. 2. sorunun mümkün olmadigi, Lindemann’in 1882 de pi sayisinin tranzantal bir sayi oldugunun ispatindan sonra anlasildi. 4. soru, yukarida da söylendigi gibi Gauss tarafindan 1796 da (p=17) için ve 1801 de de diger p ler için tam olarak çözüldü. Cevap sudur: p bir asal sayi olsun. Verilen bir dairenin içine bir düzgün p-genin çizilebilmesi için gerek ve yeter kosul p nin ve seklinde olmasidir. ( k=0 için, p=3 dür; k=1 için p=5, ve k=2 için p=17 dir). Bir dairenin içine düzgün bir besgenin çizilebilecegini Öklid biliyordu; 7-gen çizilemeyecegini Arsimed biliyordu. Arsimed’den 1800 yillari arasinda geçen 2000 yilda bu soruda hiçbir ilerleme saglanmamisti; bu sorunun çözümü için Gauss’un dehasi gerekiyordu.

Öklid’ in 5. postulatina gelince, bu sorunun çözümü için insanlarin, “mantiki tutarlilik” ile “fiziki olurlulugun” ayni sey olmadigini anlamalari gerekiyordu. 5. postalatin yerine onun zitlari olan postulatlar koyarak, Öklid geometrisi kadar tutarli, iki yeni geometri olusturulabilecegi Lobachevki (1792-1856), Bolyai (1802-1860), ve Riemann tarafindan gösterildi.

Cebir cephesine gelince, genç yasta bu dünyadan ayrilan iki matematikçi, H. Abel (1802-1829) ve E. Galois (1811-1832) nin 5. dereceden polinomlarin cebirsel yöntemlerle köklerinin bulunup-bulunamayacagi konusunda çalismalari sonucu grup teorisi dogdu. Kummer (1810-1893) ve ögrencilerinin Fermat’nin büyük teoremiyle ispatlamak için verdikleri ugrasi sonucu halka teorisi ve idealler teorisi; R. Dedekind (1831-1916) Gerçel sayilarin soyut bir tanimini vermek için yaptigi çalismalar sonucu, cisim teorisi; Cayley (1821-1895 ) ve Sylvesterin (1814-1897 ) çok sayida dogrusal denklemi tek bir denklem olarak göstermek ve çözmek için yaptiklari çalismalar sonucu matris cebiri; ve Grassman (1809-1877 ) nin üç boyuttan çok boyuta geçme çabalari sonucunda da vektör uzaylari dogdu. Bu kavramlar matematige yapisal (= stuructualist) yaklasimi ve bakis açisini getirecektir.

Bu dönemi, 1700-1900 arasini, matematikte büyük ilerlemelerin oldugu, çok sayida yeni teorinin dogdugu, yapisal degisikliklerin oldugu, ispatlarda kesinligin ön plana çiktigi, kavramsal bakis açisinin hesapsal yaklasimin önüne geçtigi bir dönem, matematigin altin çagi, olarak özetleyebiliriz.

Altin çag bir krizle kapandi. Bu kriz yeni bir çagin dogum sancilariydi. Bu çag modern matematik çagidir.

{tab=Modern matematik} 

Modern Matematik Dönemi :

Kümeler teorisinin, dolayisiyla, modern matematigin, babasi Georg Cantor (1845-1918) dir. G. Cantor Berlin üniversitesinde, Kummer’in ögrencisi olarak sayilar teorisinde tezini bitirdikten sonra, 1869 dan itibaren meslek hayatinin sonuna kadar çalisacagi Halle üniversitesinde ise baslamistir. Halle üniversitesinde çalismaya basladigi yillarda, o üniversitenin hocalarindan, E. Heine’nin Cantor’a sordugu bir soru Cantor’un yasamini, matematigin de seyrini degistirecekti. Bu soru su idi: Bir periodluk bir aralikta, toplami sifir olan bir trigonometrik serinin katsayilarinin hepsi sifir midir?

Cantor bu soruyla ugrasirken gerçel sayilarin o güne kadar fark edilmeyen bir özelliginin farkina varir. Bu da rasyonel sayilarla irrasyonel sayilarin ayni çoklukta olmadigidir. Baska bir ifadeyle, rasyonel sayilarin kümesiyle irrasyonel sayilarin kümesi arasinda, her iki kümenin de sonsuz olmasina karsin, bire-bir bir dönüsüm yoktur. O halde bu iki kümenin sonsuzluklari ayni degildir. Böylelikle ortaya küme kavrami ve kümelerin, içerdikleri eleman çoklugu açisindan, siniflandirilmasi sorunu çikti. Bu son kavram “sonsuzun” tek degil, çok oldugunu söylemektedir; bu da çok tepki çekecekti.

Tarih boyunca, Elea’ li Zeno’dan baslayarak, günümüze kadar, “sonsuz” insanlari rahatsiz etmistir. Aristo’dan Cantor’a kadar geçen zaman diliminde “sonsuz” anlayisi, temelde Aristo’nun görüsü olan, su anlayistir: Sonsuz, ufuk çizgisi gibi, var olmayan ama konusma kolayligi sagladigi için kullandigimiz bir kavramdir. Bu kavrami “sinirsizlik” kavrami yerine kullaniriz; bir sey, çogalarak ya da büyüyerek, önceden belirleyecegimiz bir çoklugun ya da büyüklügün ötesine geçme potansiyeline sahipse, o seye sonsuza gidiyor deriz. Baska bir deyimle, Aristo’nun sonsuz anlayisi “potansiyel sonsuz” anlayisidir.

Cantor’a göre ise “sonsuz” tek basina manali bir söz degildir; manali olan “sonsuz küme” kavramidir; sonsuz kümeler ise var olan nesnelerdir. Burada “sonsuz küme” deyimi, büyükanne gibi, bölünmez bir terim olarak anlasilmalidir. Baska bir deyimle, Cantor’un sonsuz anlayisi “ actual sonsuz” anlayisidir. O halde önce kümeler sonlu-sonsuz diye ikiye ayrilacak; sonra da sonsuz kümeler, kendi aralarinda, sonsuzluklarina göre, çesitli siniflara ayrilacaktir. Böylelikle ortaya sayisiz “sonsuz küme” siniflari çikacaktir. Bu da çok çesitli “sonsuzlugun “ oldugu manasina gelmektedir.

Cantor’un bu sonsuz anlayisi, Kronecker ve Poincaré gibi bir çok ünlü matematikçi tarafindan tepki ile karsilandi. Bunun sonucu olarak ta, matematikçiler, “sonsuzu” Cantor gibi anlayanlar ve Aristo gibi anlayanlar olmak üzere, iki guruba ayrildilar.

Küme kavraminin, aksiyomatik olarak tanimlanmaksizin, Cantor’un yaptigi gibi, sözlük manasinda kullanilmasi, kümeler teorisini de çikmaza soktu; “bütün kümelerin kümesi bir küme midir” gibi yeni paradokslari ortaya çikardi. Bu da matematikçileri, kümeler teorisinden vazgeçilip-vazgeçilmemesi konusunda, ikinci bir kez böldü.

Üçüncü bir sorun da, bir matematiksel ispatin ne oldugu, geçerliligi, mesrulugu sorunuydu. Matematikte deney ya da gözlem olmadigi için, tartisma konusu olan bir ispat, teori veya teorem hakkinda son sözü deneye, ya da gözleme birakma olanagi yoktur. Bu, önünde-sonunda, “gerçek, hakikat, dogru” gibi felsefi, hatta metafiziksel bir sorundur.

Bir matematikçi “öyle bir x vardir ki...” dedigi zaman var oldugunu iddia ettigi seyi somut olarak ortaya koymak, en azindan nasil insa edilebilecegini göstermek zorunda midir; yoksa, bir din adaminin dini ilkelere dayanarak seytanin varligini ispatladigi gibi, bir matematikçinin de, aradigi seyin nasil elde edilecegini göstermeksizin, o seyin var oldugunu, bir takim ilkelere dayanarak, ispatlamasi yeterli midir?

Bu üç sorunla ilgili farkli görüs ve anlayislar matematikçileri derin tartismalara, çesitli ekollere (sezgiciler, mantikçilar ve formalistler olarak) bölünmelere, ve sonuçta da matematigi derin bir krize itti. Bu “ Matematigin Temelleri Krizi” denen krizdir. Matematigin artik eskisi gibi kendi gelenek-göreneklerine göre yapilamayacagini anlayan matematikçiler, bu krizden çikmak için matematigin bir “anayasal” temele oturtulmasi gerektigini anlayarak, küme kavramini aksiyomatik olarak tanimlayip, matematigi aksiyomatik kümeler temeli üzerine insaa etmeye çalistilar; gerektiginde kümeler teorisinin aksiyomlarina “seçim aksiyomu” gibi aksiyomlar da ilave edilecek ve böylece bugünkü modern matematik olusmaya baslayacaktir. Böylece “Modern Matematik” dogdu. Kisa bir tanim vermek gerekirse, “modern matematik” klasik matematigin anayasal bir tabana oturtulmus seklidir, diye tanimlayabiliriz. Artik bu yasal çerçevede neyin mesru, neyin mesru olmadigi saglikli bir sekilde tartisilabilecektir.

Bundan sonra matematigin, aritmetik, geometri, ... gibi çesitli kisimlarinin aksiyomatik bir temele oturtulma girisimleri basladi. D. Hilbert’in (1862-1943) rüyasi, matematigin bütününü, hiç olmazsa, aritmetik, geometri gibi her ana dalini öyle aksiyomatik bir temele oturtmakti ki, o dalin her önermesi, o dala özgü aksiyomlardan hareketle, olumlu ya da olumsuz bir yönde, karara baglanabilsin idi. 20 ci asir matematiginin en önemli teoremi; derinlik ve önem açisindan, Einstein’nin görecelik ve Heisenberg’in belirsizlik ilkeleriyle ayni düzeyde oldugu kabul edilen, K. Gödel (1906-1978) in “eksiklik” teoremi Hilbert’in bu rüyasinin bir rüya olarak kalmaya mahkum oldugunu gösterdi. Gödel’in teoremi, matematigin aritmetik gibi bir ana dalini nasil bir aksiyom sistemi üzerine oturtursak oturtalim, aksiyom sistemimizin tutarli, bagimsiz ve anlasilabilir olmasi kosuluyla, tamlik ilkesini saglayacak sekilde o bölümü aksiyomatiklestirmemiz mümkün degildir, diyor. Baska bir ifade ile, aksiyomlarimizin disina çikmadan, aksiyomlarimiz tutarli iseler, dogrulugunu da, yanlisligini da ispatlanamayacak bir önerme üretmek her zaman mümkündür.

Buradaki temel sorun “dogru” ile “ispatlanabilir” kavramlarinin esdeger kavramlar olmamasidir. Klasik mantigin temel ilkelerinden biri söyle der: Bir önerme ya dogrudur ya da yanlis; ayni zamanda dogru ve yanlis, ya da baska bir sey olamaz. Ayni ilke “ispatlanabilirlik” için geçerli degildir. Gödel’den önce, verilen her önermenin, bu gün beceremesek bile, önünde-sonunda dogrulugunun ya da yanlisliginin ispatlanacagi yönünde derin bir inanç vardi. Gödel’in teoremi bu inanci yikti.

Gödel’in bu teoremi çesitli sekillerde yorumlandi. Matematigin sinirlarini asip felsefeye dayanan bu yorumlarin her biri tartismaya açiktir; ancak Gödel’in teoreminin matematigin her seyi anlamamiza olanak vermedigini, dolayisiyla her gerçegi kavramayacagimizi (ya da, mantik yoluyla mutlak hakikate erisemeyecegimizi) gösterdigi de tartisilmazdir.

20 inci asirda da, 19 uncu asirda oldugu gibi, çok sayida yeni teoriler ortaya çikti. Bunlardan bir kaçi: Metrik uzaylar (1902), topolojik uzaylar (1914), fonksiyonel analiz (1924), Banach cebirleri (1940), distribüsyon teorisi (1950), operatörler teorisi (1930), Felaket (Catastrophe) teorisi (1950)....

Bu asrin matematiginin temel özellikleri: Hiçbir asirda olmadigi kadar soyut olmasi; kavramsal ve yapisal olmasidir. Matematikte çalisan insan sayisi ve yapilan üretim hiçbir asirda 20. asirdaki kadar yüksek olmamistir. Üretimin çoklugu, çesitliligi, kullanilan dilin konuya özel olusu, matematigin bütünü hakkinda bir bilgi sahip olmayi imkansiz kilmaktadir.

{/tabs}


Prof. Dr. Ali Ülger
Koç Üniversitesi 

 

<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HİPERBOLİK UZAY
FOTO MATEMATİK
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARİKATÜR
M.C.Escher galeri
MATEMATİK KİTABI
MATEMATİK FİLMİ