n>2 için xⁿ + yⁿ = zⁿ eÅŸitliÄŸini saÄŸlayan sıfırdan farklı x, y ve z tamsayıları yoktur.

          Fermat, Diophantus 'un Arithmetica adlı eserinin Bachet tarafından yapılan çevirisinin kenarına ÅŸunları yazdı; " Gerçekten de kaydadeÄŸer bir ispat buldum ancak bunu kitabın kenarına sığdırmam mümkün deÄŸil". Bu köÅŸe notu ancak Fermat 'ın oÄŸlu Samuel 'in 1670 yılında Diophantus 'un Arithmetica'sının Bachet çevirisinin babasının notlarını da içeren yeni bir baskısını yayınlamasından sonra bilinmeye baÅŸlandı.

          Bugün kesin olmamakla birlikte Fermat 'ın bu ispatının yanlış olduÄŸuna inanılmaktadır. Fermat 'ın bu iddiası 1993 Haziranında Ä°ngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından ispatlandı, ancak Wiles bir süre sonra bazı problemler ortaya çıkınca, ispatını bulduÄŸuna dair iddiasını geri aldı. 1994 Kasımında ise tekrar ,ÅŸu an bilinen, ispatı bulduÄŸunu açıkladı.

          Fermat 'ın Paris 'li matematikçilerle mektuplaÅŸması 1654 yılında Etienne Pascal 'ın oÄŸlu Blaise Pascal 'ın, Fermat 'tan "olasılık"  hakkındaki fikirlerini açıklamasını rica eden bir mektup yazmasıyla tekrar baÅŸladı. Aralarındaki kısa mektuplaÅŸma "olasılık teorisi" ni ortaya çıkardı ve bu sebeple bugün bu teoriye, bu iki matematikçinin ortaklaÅŸa teorisi olarak bakılmaktadır. Durum her ne kadar böyle olsa da Fermat, konuyu "olasılık" tan "sayılar teorisi" ne çevirmeye çalıştı. Pascal bununla hiç ilgilenmedi ancak Fermat bunu farketmeden Carcavi 'ye ÅŸunları yazdı;

Dahiliklerine gerçekten büyük saygı duyduÄŸum Bay Pascal 'a fikirlerimi açıkladığım  için çok büyük mutluluk duyuyorum. Ä°kiniz de bu baskının sorumluluÄŸunu üstlenebilirsiniz, kısa açıklamalar ve eklemler yapabilirsiniz. Ä°ÅŸlerim çok yoÄŸun olduÄŸundan dolayı üzerimden büyük bir yük almış olursunuz.

Ancak Pascal Fermat 'ın bu çalışmalarını yine de yayınlamıyacaktı. Bunun üzerine Fermat çalışmalarının yayınlanması ile ilgili bu ani fikrinden yine vazgeçti. Fermat zor problemleriyle her zamankinden daha da ileri giderek; Fransız, Ä°ngiliz, Hollanda 'lı ve hiçbir Avrupalı matematikçi tarafından çözülemeyen iki problem Bay Fermat tarafından ortaya atılmıştır..

          Åžeklinde bir açıklama yaptı. Fermat 'ın problemleri bir çok matematikçinin Sayılar Teorisi ni önemli bir konu olarak düÅŸünmesinden dolayı fazla ilgi görmedi. Ancak Bu problemlerden ikincisi (N bir kare deÄŸil iken  Nx² + 1 = y²  ifadesinin tüm çözümlerini bulunuz, ÅŸeklinde olan problem)   Wallis ve  Brouncker tarafından çözüldü ve bu çözüm sırasında continued fraction konusu daha da geliÅŸtirilmiÅŸ oldu. Frenicle de Bessy belki de Sayılar Teorisi  'ne ilgi gösteren tek matematikçiydi, ancak ne var ki o da Fermat 'a bu konuda destek olacak kadar bir matematik yeteneÄŸine sahip deÄŸildi.

          Fermat, "iki küp 'ün toplamı bir küp olamaz" adında baÅŸka problemler de ortaya atmıştı. ( Bu, Fermat 'ın Son Teoremi olarak bilinen teoremin özel bir halidir. Bu da Fermat 'ın genel kural için bulmuÅŸ olduÄŸu ispatın yanlış olduÄŸunun farkına vardığını gösteriyor.) Bu problemler ÅŸu ÅŸekildeydi: x² + 4 = y³ ifadesinin iki, x² + 2 = y³ ifadesinin ise tek tamsayı çözümü vardır.

          1656 yılında Fermat Huygens ile mektuplaÅŸmaya baÅŸladı. Bu mektuplaÅŸmalar zamanla Fermat 'ın sayesinde Sayılar Teorisi 'ne doÄŸru yönlenmeye baÅŸladı. Bu Huygens 'in ilgisini çekmiyordu ancak Fermat bu konuda ısrarlıydı ve 1659 yılında Carcavi vasıtasıyla Huygens 'e "New Account of Discoveries in the Science of Numbers" adlı eseri yolladı ve daha önce yapmadığı kadar çok metodunu ortaya koydu.

          Fermat, sonsuz iniÅŸ 'in metotlarını açıkladı ve bunu 4k+1 formundaki asal sayıların iki kare toplamı olarak yazılabileceÄŸini kanıtlamada kullandı. Farz edelim ki 4k+1 formundaki bir asal sayı iki kare toplamı olarak yazılamasın, öyleyse 4k+1 formunda iki kare toplamı olarak yazılamayan daha küçük bir sayı vardır. Fermat 'ın bu mektupta açıklayamadığı ise küçük sayının daha büyük olan sayıdan nasıl üretileceÄŸidir. Bir varsayım Fermat 'ın bu adımı nasıl gerçekleÅŸtireceÄŸini bilmediÄŸini söylemektedir, ancak ÅŸu bir gerçektir ki Fermat 'ın metodunu açıklamada düÅŸmüÅŸ olduÄŸu bu çıkmaz, matematikçilerin ilgisini konu üzerinde yitirmesine neden olmuÅŸtur. Ve bu Euler 'in bu konudaki problemleri tekrar ele alıp bu boÅŸlukları doldurmasına dek sürmüÅŸtür.