Aritmetik ve cebir alanında Babilliler , Mısırlılardan daha ilerde idiler. Geometride de önemli buluÅŸları vardı. ÖrneÄŸin, "Pythagoras Teoremi" dediÄŸimiz, bir dik açılı üçgende dik kenarlarla hipotenüs arasındaki bağıntıya iliÅŸkin önerme "bir dik üçgenin dik kenar karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eÅŸittir" buluÅŸlarından biriydi. Ne var ki, doÄŸru da olsa bu bilgiler ampirik nitelikteydi; mantıksal ispat aÅŸamasına geçilmemiÅŸti henüz. Ege' li Filazof Thales'in (M.Ö. 624-546), geometrik önermelerin dedüktif yöntemle ispatı gereÄŸini ısrarla vurguladığı, bu yolda ilk adımları attığı bilinmektedir .

Mısır gezisinde tanıştığı geometriyi, dağınıklıktan kurtarıp, tutarlı, saÄŸlam bir temele oturtmak istiyordu. Ä°spatladığı önermeler arasında . ikizkenar üçgenlerde taban açılarının eÅŸitliÄŸi; kesiÅŸen iki doÄŸrunun oluÅŸturduÄŸu karşıt açıların birbirine eÅŸitliÄŸi vb. iliÅŸkiler vardı.

          Klasik çağın "yedi Bilgesi" nden biri olan Thales'in açtığı bu yolda, Pythagoras ve onu izleyenlerin elinde, matematik büyük ilerlemeler kaydetti, sonuçta Elementler'de iÅŸlenildiÄŸi gibi, oldukça soyut mantıksal bir dizgeye ulaÅŸtı. Pythagoras, matematikçiliÄŸinin yanı sıra, sayı mistisizmini içeren gizliliÄŸe baÄŸlı bir tarikatın önderiydi. Buna göre; sayısallık evrensel uyum ve düzenin asal niteliÄŸiydi; ruhun yücelip tanrısal kata eriÅŸmesi ancak müzik ve matematikle olasıydı.

          BuluÅŸ ve ispatlarıyla matematiÄŸe önemli katkılar yapan Pythagorasçılar , sonunda inançlarıyla ters düÅŸen bir buluÅŸla açmaza düÅŸtüler. Bu buluÅŸ, karenin kenarı ile köÅŸegenin ölçüÅŸtürülemeyeceÄŸine iliÅŸkindi. kök 2 gibi, bayağı kesir ÅŸeklinde yazılamayan sayılar , onların gözünde gizli tutulması gereken bir skandaldı. Rasyonel olmayan sayılarla temsile elveren büyüklükler nasıl olabilirdi? (Pythagorasçıların tüm çabalarına karşın üstesinden gelemedikleri bu sıkıntıyı, daha sonra tanınmış bilgin Eudoxus oluÅŸturduÄŸu, irrasyonel büyüklükler için de geçerli olan, Orantılar Kuramı'yla giderir).

          Öklid, Pythagoras geleneÄŸine baÄŸlı bir ortamda yetiÅŸmiÅŸti. Platon gibi, onun için de önemli olan soyut düÅŸünceler , düÅŸünceler arasındaki mantıksal bağıntılardı. Duyumlarımızla içine düÅŸtüÄŸümüz yanlışlıklardan, ancak matematiÄŸin saÄŸladığı evrensel ilkeler ve salt ussal yöntemlerle kurtulabilirdik. Kaleme aldığı Elementler, kendisini önceleyen Thales, Pythagoras, Eudoxus gibi, bilgin-matematikçilerin çalışmaları üstüne kurulmuÅŸtu. Geometri bir önermeler koleksiyonu olmaktan çıkmış, sıkı mantıksal çıkarım ve bağıntılara dayanan bir dizgeye dönüÅŸmüÅŸtü. Artık önermelerin doÄŸruluk deÄŸeri, gözlem veya ölçme verileriyle deÄŸil, ussal ölçütlerle denetlenmekteydi. Bu yaklaşımda pratik kaygılar ve uygulamalar arka plana itilmiÅŸti.

          KuÅŸkusuz bu, Öklid geometrisinin pratik problem çözümüne elvermediÄŸi demek deÄŸildi. Tam tersine, deÄŸiÅŸik mühendislik alanlarında pek çok problemin, bu geometrinin yöntemiyle çözümlendiÄŸi; ama Elementler'in, eÄŸreti olarak deÄŸindiÄŸi bazı örnekler dışında, uygulamalara yer vermediÄŸi de bilinmektedir. Öklid'in pratik kaygılardan uzak olan bu tutumunun matematik dünyasındaki izleri, bugün de rastladığımız bir geleneÄŸe dönüÅŸmüÅŸtür.

          Gerçekten, özellikle seçkin matematikçilerin gözünde, matematik ÅŸu ya da bu iÅŸe yaradığı için deÄŸil, yalın gerçeÄŸe yönelik, sanat gibi güzelliÄŸi ve deÄŸeri kendi içinde Soyut bir düÅŸün uÄŸraşı olduÄŸu için önemlidir.

          MatematiÄŸin tümüyle ussal bir etkinlik olduÄŸu doÄŸru deÄŸildir. BuluÅŸ baÄŸlamında tüm diÄŸer bilimler gibi matematik de, sınama-yanılma, tahmin, sezgi, içedoÄŸuÅŸ türünden öÄŸeler içermektedir. Yeni bir bağıntıyı sezinleme, deÄŸiÅŸik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma, temelde mantıksal olmaktan çok psikolojik bir olaydır. MatematiÄŸin ussallığı, doÄŸrulama baÄŸlamında belirgindir.

Teoremlerin ispatı, büyük ölçüde kuralları belli, ussal bir iÅŸlemdir; ama ÅŸu sorulabilir: Öklid neden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla doÄŸrulanmış önermeleriyle yetinmemiÅŸ, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmiÅŸtir?

Öklid'i bu giriÅŸiminde güdümleyen motiflerin ne olduÄŸunu söylemeye olanak yoktur; ancak, Helenistik çağın düÅŸün ortamı göz önüne alındığında, baÅŸlıca dört noktanın öngörüldüÄŸü söylenebilir:

  1) Ä°ÅŸlenen konuda çoÄŸu kez belirsiz kalan anlam ve iliÅŸkilere açıklık getirmek;

  2) Ä°spatta baÅŸvurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve çıkarım kurallarını belirtik kılmak;

  3) Ulaşılan sonuçların doÄŸruluÄŸuna mantıksal geçerlik kazandırmak (BaÅŸka bir deyiÅŸle, teoremlerin öncüllere görecel zorunluluÄŸunu, yani öncülleri doÄŸru kabul ettiÄŸimizde teoremi yanlış sayamayacağımızı göstermek);

  4) Geometriyi, ampirik genellemeler düzeyini aÅŸan soyut-simgesel bir dizge düzeyine çıkarmak (Bir örnekle açıklayalım: Mısırlılar ile Babilliler kenarları 3, 4, 5 birim uzunluÄŸunda olan bir üçgenin, dik üçgen olduÄŸunu deneysel olarak biliyorlardı; ama bu iliÅŸkinin 3, 4, 5 uzunluklarına özgü olmadığını, baÅŸka uzunluklar için de geçerli olabileceÄŸini gösteren veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da yoktu.

Öyle kuramsal bir açılma için pratik kaygılar ötesinde, salt entellektüel motifli bir arayış içinde olmak gerekir. Nitekim, Egeli bilginler somut örnekler üzerinde ölçmeye dayanan belirlemeler yerine, bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler için geçerli soyut genellemeler arayışındaydılar. Onlar, kenar uzunluklan a, b, c diye belirlenen üçgeni ele almakta, üçgenin ancak a²+b²=c² eÅŸitliÄŸi gerçekleÅŸtiÄŸinde dik üçgen
olabileceÄŸi genellemesine gitmektedirler).

          Öklid oluÅŸturduÄŸu dizgede birtakım tanımların yanı sıra, beÅŸi "aksiyom" dediÄŸi genel ilkeden, beÅŸi de "postulat" dediÄŸi geometriye özgü ilkeden oluÅŸan, on öncüle yer vermiÅŸtir (Öncüller, teoremlerin tersine ispatlanmaksızın doÄŸru sayılan önermelerdir). Dizge tüm yetkin görünümüne karşın, aslında çeÅŸitli yönlerden birtakım yetersizlikler içermekteydi.

Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle, "nokta'', "doÄŸru", vb. ilkel terimlere iliÅŸkin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha önemlisi, belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların, belki de farkında olmaksızın kullanılmış olması, dizgenin tutarlılığı açısından önemli bir kusurdu. Ne var ki, matematiksel yöntemin oluÅŸma içinde olduÄŸu baÅŸlangıç döneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler, giderilemeyecek ÅŸeyler deÄŸildi.

Nitekim, l8. yüzyılda baÅŸlayan eleÅŸtirel çalışmaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlük saÄŸladığı söylenebilir. Üstelik dizgenin irdelenmesi, beklenmedik bir geliÅŸmeye de yol açmıştır: Öncüllerde bazı deÄŸiÅŸikliklerle yeni geometrilerin ortaya konması. "Öklid-dışı" diye bilinen bu geometriler, saÄŸduyumuza aykırı da düÅŸseler, kendi içinde tutarlı birer dizgedir. Öklid geometrisi, artık var olan tek geometri deÄŸildir. Öyle de olsa, Öklid'in düÅŸünce tarihinde tuttuÄŸu yerin deÄŸiÅŸtiÄŸi söylenemez.

          Çağımızın seçkin filozofu Bertrand Russell'ın ÅŸu sözlerinde Öklid'in özlü bir deÄŸerlendirmesini bulmaktayız: '"Elementler'e bugüne deÄŸin yazılmış en büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekasının en yetkin anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgü kimi yetersizlikleri yok deÄŸildir, kuÅŸkusuz: dayandığı yöntem salt dedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini oluÅŸturan varsayımları yoklama olanağı yoktur.

Bunlar kuÅŸku götürmez apaçık doÄŸrular olarak konmuÅŸtur. Oysa, 19.yüzyılda ortaya çıkan Öklid-dışı geometriler, bunların hiç deÄŸilse bir bölümünün yanlış olabileceÄŸini, bunun da ancak gözleme baÅŸvurularak belirlenebileceÄŸini göstermiÅŸtir."

          Gene Genel Rölativite Kuramı'nda Öklid geometrisini deÄŸil, Riemann geometrisini kullanan Einstein'ın, Elementler'e iliÅŸkin yargısı son derece çarpıcıdır: "GençliÄŸinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceÄŸi hayaline boÅŸuna kapılınasın!"

Kaynak:  Ä°stanbul.edu.tr