gg arrow Matematik makaleleri arrow DoÄŸadan Matematik Esintiler
DoÄŸadan Matematik Esintiler Yazdır E-Posta
ÖZET

Birçok insan için matematik; ezberlenmesi gereken birtakım kurallar ve bu kurallara baÄŸlı olarak art arda yapılan iÅŸlemler demektir. Matematik deyince, çoÄŸumuzun aklına sadece sınıf geçmek için gerekli olan, bunun dışında en güzel yıllarımızda bize kâbus yaÅŸatmış bir ders gelir.

MatematiÄŸin zevkli, heyecan verici esrarengiz yönlerini tanımak, çevremizdeki, doÄŸadaki matematiksel yapıyı görmek; resim, müzik, heykel ve mimarlık gibi güzel sanatlarla olan ilgisini bilmek ve bunu hissetmek bir ayrıcalıktır. MatematiÄŸe bir de bu açıdan bakmak herkes için özellikle gençlerimiz için çok ÅŸeyin deÄŸiÅŸmesine, güzelleÅŸmesine ve anlam kazanmasına sebep olabilecektir. Bilginin coÅŸkun mutluluÄŸuna ulaÅŸmak için matematik en emin ve kısa yoldur.

 

GÄ°RÄ°Åž

Matematik Antik Yunanca “matesis” (ben bilirim) kelimesinden türetilmiÅŸtir.

 

Ä°nsanların matematikle, bilimle uÄŸraÅŸmaya baÅŸlamasının temelinde yatan içgüdü; insanların doÄŸayı ve doÄŸa olaylarını tanımak, doÄŸa olaylarını önceden kestirebilmek, önceden anlayabilmek ve diÄŸer insanlara karşı bir üstünlük saÄŸlama arzusudur.

 

Dünyanın tepsi gibi düz olduÄŸunun okullarda okutulduÄŸu yıllarda dünyanın eÄŸik olması gerektiÄŸini düÅŸünen ve yerkürenin eÄŸimini hesaplayan Knidoslu Eudoxus bir gün başını göÄŸe kaldırıp arkadaÅŸlarına “Åžu güneÅŸin yapısını, ÅŸeklini ve büyüklüÄŸünü tam olarak kavrayabileceÄŸimi bilsem yanına gidip yanmaya razı olurdum.” der.

 

T. Pappas’ın “YaÅŸayan Matematik” isimli kitabının ön sözünde ÅŸunlar yazılıdır: Matematikten duyulan zevk bir ÅŸeyi keÅŸfetme deneyimine benzer. Çocuksu bir hayranlık ve ÅŸaÅŸkınlık insanı sarar. Bu deneyimi bir kez yaÅŸadıktan sonra bu duyguyu unutamazsınız. Bu duygu, ilk kez mikroskoba bakıp da daha önce çevrenizde her zaman var olan ama, göremediÄŸiniz ÅŸeyleri gördüÄŸünüz andaki kadar heyecan vericidir.


2. MATEMATÄ°ÄžE GENEL BAKIÅž

 

Birçok insan için matematik, hayatını zehir eden derslerden, içine korku salan sınavlardan ve sınıfı geçer geçmez kurtulacağı bir kâbustan ibarettir. Bazıları içinse matematik, hayatı anlamanın ve sevmenin bir yolu olabilmiÅŸtir. Çünkü sevmenin yolu her ÅŸeyde olduÄŸu gibi, burada da anlamaktan geçer. Ancak anlayabildiÄŸimiz ÅŸeyleri severiz.

 

Matematik, yaratıcının doÄŸanın içine bıraktığı ipuçlarıdır. Bunlar, bakar bakmaz görülemeyecek kadar saklı ve karmaşık, ama insan beyninin çabalarıyla ulaÅŸabileceÄŸi kadar yakın. Mutlak doÄŸru, kesin ve deÄŸiÅŸmez, ama yalın, güzel ve ahenkli. Tanrı sanki evreni yaratırken koyacağı kuralların yalnızca doÄŸru çalışmasıyla yetinmemiÅŸ, bu kurallara insan ruhunu yüceltecek güzellikler katmak istemiÅŸ. Galileo “Ä°nsana bu mükemmel beyni veren tanrının, insanın bu beyni kullanmasını istemediÄŸine inanmıyorum.” derken iÅŸte doÄŸanın sırlarında saklı olan bu güzelliklere ulaÅŸma heyecanını dile getiriyordu.

 

MatematiÄŸin tarihi, insanlık tarihi kadar eskidir. MatematiÄŸin ilk eylemi sayı saymaktır. Bazı ilkel kültürlerde belki sayılara gerek yoktu. Ama zamanla insanlar çoklukları ayrıntılı bilme ihtiyacı duydular ve saymaya parmaklarını kullanarak baÅŸladılar. Yazıyı kullanmaya baÅŸlayan ilk topluluklar alfabelerinde sayıyı kullanmışlardır. En güzel örneÄŸi de eski Çin ideogramlarında vardır. Anlamı “erkek” olan ÅŸekilden üç tane olunca anlam “herkes”, “aÄŸaç” anlamındaki ÅŸekilden üç tane varsa anlam “orman”, “kadın” demek olan ideogramdan üç tane olduÄŸu zaman da anlam “dedikodu” olarak deÄŸiÅŸiyor. Eski Mısırlılar da hiyerogliflerinde benzer bir alfabe kullanmışlardır.

 

Dünyaya nasıl baktığımız, etrafımızda neler gördüÄŸümüz, gördüÄŸümüz ÅŸeylerin bize neler düÅŸündürdüÄŸü tamamen daha önce ne öÄŸrendiÄŸimize baÄŸlıdır. Yani, matematikçi tanımıyla, görebildiÄŸimiz dünya eski bilginlerimizin bir fonksiyonudur. Bir ayçiçeÄŸi tarlasına bile bakmanın çeÅŸitleri var. Aynı tarlanın önünden geçenlerin bir kısmı hiçbir ÅŸey görmeden geçip gider. Kimine göre çiçek, kimine göre para, kimine göre ise çok güzel bir tablodur. Bu çiçeklere bakmanın baÅŸka bir yolu daha var oysa. Her birinin ortasında bin tane çiçek. Her biri bir tohum olacak ve her biri tohuma gebe yeni bir çiçeÄŸe gebe. Bu çiçeklerden oluÅŸmuÅŸ koskoca bir tarla. Ä°ÅŸte bu sıfırdan sonsuza ulaÅŸan bir zincir.


2.1. Sonsuzluk

Galiba insanların böyle bir sonsuzluk duygusu, sonsuzluÄŸa karşı bir özlemi var. Gideremedikleri bir özlem. Matematikte bu özleme çok yaklaÅŸabildiÄŸimiz anlar oluyor gerçekten. Matematikte bir sonsuzluk kavramı var ama geri kalan, insana ait, dünyaya ait her ÅŸey de sonlu. Yani en baÅŸta insan hayatı sonlu tabiî. Ä°nsanoÄŸlu sonsuz kavramına ancak kendini tekrar eden ve döngüye giren durumlarla yaklaÅŸabiliyor. Sonsuz denince akla, bu kavramı sanatta en iyi biçimde yakalayan ünlü grafik sanatçısı Escher geliyor. Birbirini çizen eller, birbirine dönüÅŸen varlıklar ve içine girdiÄŸiniz zaman sonsuza kadar çıkamayacağınız resimler .

2.2. Dairenin gizemi

Gök cisimleri genellikle küre biçiminde ve hep hareket hâlindedir. Biz ise onları iki boyutlu biçimleriyle algılıyoruz. Daire: Bu belki de insanoÄŸlunun doÄŸada gözlemlediÄŸi ve içinde bir sır olduÄŸunu düÅŸündüÄŸü ilk geometrik ÅŸekil. Ä°nsanlar muhtemelen güneÅŸe, mehtaba bakıyorlar ve bu mükemmel ÅŸekli kendileri de çizmek, anlamak, gizemine ulaÅŸmak istiyorlardı. Fakat her daire çiziÅŸlerinde dairenin içinden bir sır onlara göz kırpıyordu. Bu sır dairenin çevresi ile çapı arasında sabit bir oranın olmasıydı. Birçok bilim adamı bu oranı buldu ama yüzyıllarca bu oranı sayılara dökemediler. Zaten karşılarına böyle bir sayı çıkana kadar da böyle bir ÅŸey düÅŸünmelerine gerek yoktu. Böyle bir sayıyı ilk kez Pisagor ve arkadaÅŸları bulunca kızılca kıyamet koptu. Bu sistem dışı, akla aykırı sayılara “irrasyonel” sayılar dediler. Ä°ÅŸte yukarıda adı geçen oran pi sayısıdır ve akla aykırı sayıdır. Pi sayısının ondalık açılımındaki sayı gruplarının hiçbiri tekrar etmez ve bu sayılar âdeta rasgele birbiri arkasından sonsuza deÄŸin gider. (HacısalihoÄŸlu [WEB], 2001).

2.3. Spiraller, Helisler, Elipsler....

Bir deniz minaresine baktığınız zaman gördüÄŸünüz ÅŸekil genellikle bir spiraldir. Spiral, ArÅŸimed’in zevk için çalıştığı geometrik ÅŸekillerden biridir. Helis, sarmaşık bitkisinin aÄŸaca tırmanırken çizdiÄŸi eÄŸridir. Bu eÄŸri bir yüksekliÄŸi en kısa mesafede tırmanma problemini çözer. Bunun içindir ki Mimar Sinan Edirne’deki Selimiye Camii’nin üç merdivenli minarelerinde helis eÄŸrisinin en güzel uygulamalarından birini göstermiÅŸtir. Minareler hem üçer ÅŸerefeli, hem de olabildiÄŸince ince olacaktı. Ayrı merdivenleri kullanan kiÅŸiler de birbirini görmeyecekti. Bunu ancak mükemmel matematik bilgisi ile mimarî dehasını birleÅŸtirebilen Koca Sinan yapabilirdi. Böyle bir projeyi düÅŸünmek bile cüret isterdi. Ä°ÅŸte o da Sinan gibilerle sıradan olanlar arasındaki fark....(Sertöz, MatematiÄŸin Aydınlık Dünyası, 1996)

2.4. Sayı Dizileri

Beyin enerjimizi matematik bilimine yöneltmenin nedeni bence evreni izah etme kaygısı deÄŸil. Ama bu bilgilerle daha sonra doÄŸaya baktığımızda bu sonuçların onun içinde zaten var olduÄŸunu görüyoruz. Ünlü matematikçilerden Fibonacci, doÄŸadaki matematiÄŸi açıklayan bir sayı dizisi bulmuÅŸ. Kimileri bu sayı dizisini Fibonacci sayıları olarak da adlandırıyor. Bu dizi de tıpkı diÄŸerleri gibi doÄŸaya bakmanın yollarından biri. Dizi ÅŸöyle baÅŸlıyor: 1,1,2,3,5,8,13..... gibi. Kuralı görebildiyseniz bu diziyi istediÄŸiniz kadar ilerletebilirsiniz. Peki, birçok çiçeÄŸin taç yapraklarının bu diziye göre sıralandığını biliyor muydunuz? ÖrneÄŸin, normal büyüklükteki bir papatyada genellikle 13 ya da 21 taç yaprağı vardır. EÄŸer papatya falına bakmayı seviyorsanız “seviyor” ile baÅŸlamanızı tavsiye ederim. Ama elinizdeki daha büyük bir papatya ise muhtemelen 34 yapraklıdır, saymaya “sevmiyor” ile baÅŸlamalısınız. Benzer ÅŸekilde meyveleri ya da sebzeleri ortadan ikiye böldüÄŸünüzde, birçoÄŸunun içindeki boÅŸlukların sayısının bir Fibonacci sayısı kadar olduÄŸunu görürsünüz.

Göze daha net gözükeni “dal” problemi. Her farklı nesilde kaç tane dal olduÄŸunu sayarsanız birçok bitkide yine aynı sayı dizisi karşınıza çıkar: Birinci yıl 1, ikinci yıl 1, ertesi yıllar 2,3,5,8,13,21,34,.... diye gider.

Daha önce hiç ayçiçeÄŸinin üzerindeki spiralleri saymış mıydınız? Bir ayçiçeÄŸinde saat yönündeki spirallerin sayısı 55, ters yöndekilerin sayısıysa 34 veya 89’dur. Kozalakta bu oran 5’e 8’dir ki bu da iki ardışık Fibonacci sayısıdır. Tütünde de 5 turda 3 yaprak, 8 turda 5 yaprak veren filizler vardır.

2.5. Müzik

Sadece düÅŸüncede var olan olayların nerelerde uygulama alanı bulabileceÄŸi hiçbir zaman önceden tahmin edilemez. ÇoÄŸu kez utandıkları için soramayan ve bir an gelip de sabırlarının taÅŸtığını anlayan öÄŸrenciler “bu ne iÅŸe yarar” diye sorarlar. O anda onlara verilebilecek cevabın olması bir, olmaması da bir diÄŸer problemdir. Çünkü matematik kendi alanında bu soruya cevap olsun diye geliÅŸmemektedir. Aksi hâlde iÅŸ yoksa matematiÄŸin de durması gerekirdi. Ayrıca bunun ne iÅŸe yarayacağını onu ortaya koyan da göremeyebilir. ÖrneÄŸin, Newton “TÜREV”i keÅŸfeder ama Ay’a seyahatte en önemli araç olduÄŸunu göremeden ölür. Kendisine türevin ne iÅŸe yaradığı vaktinde sorulsaydı, “Ay’a seyahatte” cevabını veremezdi.

Gelelim matematik ve müzik iliÅŸkisine: Orta ÇaÄŸda eÄŸitim programlarında matematik, müzik ve astronomi ile aynı grupta yer alırdı. Matematik ve müzik iliÅŸkisi, günümüzde bilgisayar aracılığı ile devam etmektedir.

Bir müzik parçasında ritimler belirli oranlara göre yapılır (4:4’lük, 3:4’lük, 5:8’lik.... gibi).

Pisagor ve onun düÅŸüncesini taşıyanlar sesin, çekilen telin uzunluÄŸuna baÄŸlı olduÄŸunu fark ederek müzikte armoni ile tam sayılar arasındaki iliÅŸkiyi kurmuÅŸlardır. Uzunlukları tam sayı oranlarında olan gergin tellerin de armonik sesler verdiÄŸi görülmüÅŸtür. Gerçekten de çekilen tellerin her armonik bileÅŸimi tam sayıların oranı olarak gösterilebilir. ÖrneÄŸin, do sesini çıkaran bir telin uzunluÄŸunun 16/15 ‘i si sesi verirken, 6/5’i ise la sesi; 4/3’ü sol sesini; 3/2’si fa sesini; 8/5 ‘i mi sesini; 16/9‘u re sesini verir. (Orhan, [WEB], 2001).

GörüldüÄŸü gibi iki notayı bir arada duymak, iki frekansı ya da iki sayıyı ve bu iki sayı arasındaki oranı algılamaktan baÅŸka bir ÅŸey deÄŸildir. Demek ki armoni sorunu, iki sayının oranını seçme sorununa eÅŸ deÄŸerdir. Bir diÄŸer önemli nokta da insan kulağı için en uyumlu aralığın 8/5 frekans oranındaki majör 6’lı olduÄŸu bilinmektedir. Bu oranın yukarıda bahsettiÄŸimiz altın orana çok yakın bir oran olduÄŸudur. Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır, diyen Leibniz ’in haklılığı ortaya çıkıyor.

MüziÄŸin matematikten farklı tarafı, bazı göz kamaÅŸtırıcı tuzaklar kullanarak, insanları büyüleyebilmesidir. Halbuki matematik bunu yapmaz. Russell bunu ÅŸöyle özetliyor: “Ä°yi bakıldığı zaman matematik sadece doÄŸruyu deÄŸil yüksek bir güzelliÄŸi de içerir. Matematik bu güzelliklere bürünmek için insan doÄŸasındaki bazı zayıflıklara baÅŸvurmaz, resim ve müziÄŸin göz kamaÅŸtırıcı tuzaklarını da kullanmaz.”

Åžüphesiz matematiÄŸin de müzik gibi kompozitörleri ve virtüözleri vardır, diyor ünlü matematikçimiz Cahit Arf. Kompozitörler teorileri kuranlar, virtüözler de teorileri gerçek manada anlayarak ifade edebilenler ve hissettirebilenlerdir.

2.6. Fraktallar

Şimdi de bunları bir kenara bırakıp tamamen farklı bir konuya bakalım: altın oran....

Eski ÇaÄŸlarda ressamlar ve heykeltraÅŸlar ideal insan ölçülerinin nasıl olması gerektiÄŸi üzerine kafa yormuÅŸlar. Eski ÇaÄŸlarda günümüzdeki gibi rastgele yontulmuÅŸ heykeller yoktu. Bunun için heykeltraÅŸlar bir ölçü bulmuÅŸlar. Ä°ddiaya göre ideal insanın ölçüleri ÅŸöyle olmalıymış: Boy uzunluÄŸunun göbekten ayak uçlarına olan uzunluÄŸa oranı, göbekten ayak uçlarına olan uzunluÄŸun göbekten baÅŸucuna olan uzunluÄŸa olan oranına eÅŸit. Sembolsüz matematik yapmaya alışık olmayan yirmi birinci yüzyıl okuyucusu için bunu cebirsel olarak yazmak gerekirse: ideal insanın boyu a birim olsun. GöbeÄŸinden ayak ucuna olan uzaklık da b birim olsun. Bu durumda göbeÄŸinden baÅŸucuna olan uzaklık da (a-b) birim olacak. Ä°ddiaya göre ideal insandaki ölçüler denklemini saÄŸlamalıdır.

Burada, dersek denklemini buluruz. Sanırım bu denklem bize daha tanıdık geldi. Bu denklemin bir kökü;ve x= 1.618033988749............olarak bulunur.

Aralarında Mona Lisa tablosunun da bulunduÄŸu pek çok eserin tuvalin içine bu oran gözetilerek yerleÅŸtirildiÄŸi iddia edilir. Sessiz sinemanın ünlü yönetmeni Eisenstein, Potemkin Zırhlısı filmindeki dramatik ögelerin altın orana göre yerleÅŸtirildiÄŸini söyler...

Burada altın oranla Fibonacci serileri arasında bir baÄŸlantı olduÄŸunu söylemeden geçmeyelim. Bu iliÅŸki;

Klâsik sanatta çok kullanılan bir altın dikdörtgenin özelliÄŸi, kenarlarının birbirine oranının içinden bir kare atılarak elde edilen dikdörtgenin kenarlarının oranına eÅŸit olmasıdır. Kalan dikdörtgen de altın dikdörtgen olduÄŸu için ondan da bir kare atılırsa yine bir altın dikdörtgen kalır. AÅŸağıdaki ÅŸekil altın dikdörtgene bir örnektir.

Matematikçiler bunlara benzer binlerce konu üzerinde araÅŸtırma yapmışlar ve çok ilginç buluÅŸlar ortaya koymuÅŸlardır. Birbirinden binlerce kilometre ve yüzlerce yıl uzakta yaÅŸamış bu insanlar ortak bir heyecanı taşımışlar ve aynı maceranın kahramanları olmuÅŸlardır. Ä°ÅŸte bu binlerce yıldır süren insanlığın ortak macerasının adıdır matematik.

Yazımı, benim çok hoÅŸuma giden ÅŸu cümle ile bitirmek istiyorum. Evinin bahçesinde çimlerin üzerine sırt üstü yatmış, bulutlara bakan matematikçiye oÄŸlu pencereden seslenir: “Baba, çok çalıştın, artık içeri gel.” (Sertöz, MatematiÄŸin Aydınlık Dünyası, 1996).


KAYNAKLAR

SERTÖZ, Sinan, “MatematiÄŸin Aydınlık Dünyası” Nurol Matbaacılık, 3. Bs., Ankara, 1996.

HACISALÄ°HOÄžLU, H.Milmi, “Geometri KonuÅŸalım”, Ankara, 2001.

ORHAN, Cihan, “Matematik ve Müzik”, Ankara, 2001.

KÄ°NG, P. Jerry, “Matematik Sanatı” Nurol Matbaacılık, Ankara, 1992.


Kaynak: Müzikdersi.com

 

<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HÄ°PERBOLÄ°K UZAY
FOTO MATEMATÄ°K
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARÄ°KATÃœR
M.C.Escher galeri
MATEMATÄ°K KÄ°TABI
MATEMATÄ°K FÄ°LMÄ°