mm arrow Matematik makaleleri arrow Doğadan Matematik Esintiler
Doğadan Matematik Esintiler Yazdır E-Posta
ÖZET

Birçok insan için matematik; ezberlenmesi gereken birtakım kurallar ve bu kurallara bağlı olarak art arda yapılan işlemler demektir. Matematik deyince, çoğumuzun aklına sadece sınıf geçmek için gerekli olan, bunun dışında en güzel yıllarımızda bize kâbus yaşatmış bir ders gelir.

Matematiğin zevkli, heyecan verici esrarengiz yönlerini tanımak, çevremizdeki, doğadaki matematiksel yapıyı görmek; resim, müzik, heykel ve mimarlık gibi güzel sanatlarla olan ilgisini bilmek ve bunu hissetmek bir ayrıcalıktır. Matematiğe bir de bu açıdan bakmak herkes için özellikle gençlerimiz için çok şeyin değişmesine, güzelleşmesine ve anlam kazanmasına sebep olabilecektir. Bilginin coşkun mutluluğuna ulaşmak için matematik en emin ve kısa yoldur.

 

GİRİŞ

Matematik Antik Yunanca “matesis” (ben bilirim) kelimesinden türetilmiştir.

 

İnsanların matematikle, bilimle uğraşmaya başlamasının temelinde yatan içgüdü; insanların doğayı ve doğa olaylarını tanımak, doğa olaylarını önceden kestirebilmek, önceden anlayabilmek ve diğer insanlara karşı bir üstünlük sağlama arzusudur.

 

Dünyanın tepsi gibi düz olduğunun okullarda okutulduğu yıllarda dünyanın eğik olması gerektiğini düşünen ve yerkürenin eğimini hesaplayan Knidoslu Eudoxus bir gün başını göğe kaldırıp arkadaşlarına “Şu güneşin yapısını, şeklini ve büyüklüğünü tam olarak kavrayabileceğimi bilsem yanına gidip yanmaya razı olurdum.” der.

 

T. Pappas’ın “Yaşayan Matematik” isimli kitabının ön sözünde şunlar yazılıdır: Matematikten duyulan zevk bir şeyi keşfetme deneyimine benzer. Çocuksu bir hayranlık ve şaşkınlık insanı sarar. Bu deneyimi bir kez yaşadıktan sonra bu duyguyu unutamazsınız. Bu duygu, ilk kez mikroskoba bakıp da daha önce çevrenizde her zaman var olan ama, göremediğiniz şeyleri gördüğünüz andaki kadar heyecan vericidir.


2. MATEMATİĞE GENEL BAKIŞ

 

Birçok insan için matematik, hayatını zehir eden derslerden, içine korku salan sınavlardan ve sınıfı geçer geçmez kurtulacağı bir kâbustan ibarettir. Bazıları içinse matematik, hayatı anlamanın ve sevmenin bir yolu olabilmiştir. Çünkü sevmenin yolu her şeyde olduğu gibi, burada da anlamaktan geçer. Ancak anlayabildiğimiz şeyleri severiz.

 

Matematik, yaratıcının doğanın içine bıraktığı ipuçlarıdır. Bunlar, bakar bakmaz görülemeyecek kadar saklı ve karmaşık, ama insan beyninin çabalarıyla ulaşabileceği kadar yakın. Mutlak doğru, kesin ve değişmez, ama yalın, güzel ve ahenkli. Tanrı sanki evreni yaratırken koyacağı kuralların yalnızca doğru çalışmasıyla yetinmemiş, bu kurallara insan ruhunu yüceltecek güzellikler katmak istemiş. Galileo “İnsana bu mükemmel beyni veren tanrının, insanın bu beyni kullanmasını istemediğine inanmıyorum.” derken işte doğanın sırlarında saklı olan bu güzelliklere ulaşma heyecanını dile getiriyordu.

 

Matematiğin tarihi, insanlık tarihi kadar eskidir. Matematiğin ilk eylemi sayı saymaktır. Bazı ilkel kültürlerde belki sayılara gerek yoktu. Ama zamanla insanlar çoklukları ayrıntılı bilme ihtiyacı duydular ve saymaya parmaklarını kullanarak başladılar. Yazıyı kullanmaya başlayan ilk topluluklar alfabelerinde sayıyı kullanmışlardır. En güzel örneği de eski Çin ideogramlarında vardır. Anlamı “erkek” olan şekilden üç tane olunca anlam “herkes”, “ağaç” anlamındaki şekilden üç tane varsa anlam “orman”, “kadın” demek olan ideogramdan üç tane olduğu zaman da anlam “dedikodu” olarak değişiyor. Eski Mısırlılar da hiyerogliflerinde benzer bir alfabe kullanmışlardır.

 

Dünyaya nasıl baktığımız, etrafımızda neler gördüğümüz, gördüğümüz şeylerin bize neler düşündürdüğü tamamen daha önce ne öğrendiğimize bağlıdır. Yani, matematikçi tanımıyla, görebildiğimiz dünya eski bilginlerimizin bir fonksiyonudur. Bir ayçiçeği tarlasına bile bakmanın çeşitleri var. Aynı tarlanın önünden geçenlerin bir kısmı hiçbir şey görmeden geçip gider. Kimine göre çiçek, kimine göre para, kimine göre ise çok güzel bir tablodur. Bu çiçeklere bakmanın başka bir yolu daha var oysa. Her birinin ortasında bin tane çiçek. Her biri bir tohum olacak ve her biri tohuma gebe yeni bir çiçeğe gebe. Bu çiçeklerden oluşmuş koskoca bir tarla. İşte bu sıfırdan sonsuza ulaşan bir zincir.


2.1. Sonsuzluk

Galiba insanların böyle bir sonsuzluk duygusu, sonsuzluğa karşı bir özlemi var. Gideremedikleri bir özlem. Matematikte bu özleme çok yaklaşabildiğimiz anlar oluyor gerçekten. Matematikte bir sonsuzluk kavramı var ama geri kalan, insana ait, dünyaya ait her şey de sonlu. Yani en başta insan hayatı sonlu tabiî. İnsanoğlu sonsuz kavramına ancak kendini tekrar eden ve döngüye giren durumlarla yaklaşabiliyor. Sonsuz denince akla, bu kavramı sanatta en iyi biçimde yakalayan ünlü grafik sanatçısı Escher geliyor. Birbirini çizen eller, birbirine dönüşen varlıklar ve içine girdiğiniz zaman sonsuza kadar çıkamayacağınız resimler .

2.2. Dairenin gizemi

Gök cisimleri genellikle küre biçiminde ve hep hareket hâlindedir. Biz ise onları iki boyutlu biçimleriyle algılıyoruz. Daire: Bu belki de insanoğlunun doğada gözlemlediği ve içinde bir sır olduğunu düşündüğü ilk geometrik şekil. İnsanlar muhtemelen güneşe, mehtaba bakıyorlar ve bu mükemmel şekli kendileri de çizmek, anlamak, gizemine ulaşmak istiyorlardı. Fakat her daire çizişlerinde dairenin içinden bir sır onlara göz kırpıyordu. Bu sır dairenin çevresi ile çapı arasında sabit bir oranın olmasıydı. Birçok bilim adamı bu oranı buldu ama yüzyıllarca bu oranı sayılara dökemediler. Zaten karşılarına böyle bir sayı çıkana kadar da böyle bir şey düşünmelerine gerek yoktu. Böyle bir sayıyı ilk kez Pisagor ve arkadaşları bulunca kızılca kıyamet koptu. Bu sistem dışı, akla aykırı sayılara “irrasyonel” sayılar dediler. İşte yukarıda adı geçen oran pi sayısıdır ve akla aykırı sayıdır. Pi sayısının ondalık açılımındaki sayı gruplarının hiçbiri tekrar etmez ve bu sayılar âdeta rasgele birbiri arkasından sonsuza değin gider. (Hacısalihoğlu [WEB], 2001).

2.3. Spiraller, Helisler, Elipsler....

Bir deniz minaresine baktığınız zaman gördüğünüz şekil genellikle bir spiraldir. Spiral, Arşimed’in zevk için çalıştığı geometrik şekillerden biridir. Helis, sarmaşık bitkisinin ağaca tırmanırken çizdiği eğridir. Bu eğri bir yüksekliği en kısa mesafede tırmanma problemini çözer. Bunun içindir ki Mimar Sinan Edirne’deki Selimiye Camii’nin üç merdivenli minarelerinde helis eğrisinin en güzel uygulamalarından birini göstermiştir. Minareler hem üçer şerefeli, hem de olabildiğince ince olacaktı. Ayrı merdivenleri kullanan kişiler de birbirini görmeyecekti. Bunu ancak mükemmel matematik bilgisi ile mimarî dehasını birleştirebilen Koca Sinan yapabilirdi. Böyle bir projeyi düşünmek bile cüret isterdi. İşte o da Sinan gibilerle sıradan olanlar arasındaki fark....(Sertöz, Matematiğin Aydınlık Dünyası, 1996)

2.4. Sayı Dizileri

Beyin enerjimizi matematik bilimine yöneltmenin nedeni bence evreni izah etme kaygısı değil. Ama bu bilgilerle daha sonra doğaya baktığımızda bu sonuçların onun içinde zaten var olduğunu görüyoruz. Ünlü matematikçilerden Fibonacci, doğadaki matematiği açıklayan bir sayı dizisi bulmuş. Kimileri bu sayı dizisini Fibonacci sayıları olarak da adlandırıyor. Bu dizi de tıpkı diğerleri gibi doğaya bakmanın yollarından biri. Dizi şöyle başlıyor: 1,1,2,3,5,8,13..... gibi. Kuralı görebildiyseniz bu diziyi istediğiniz kadar ilerletebilirsiniz. Peki, birçok çiçeğin taç yapraklarının bu diziye göre sıralandığını biliyor muydunuz? Örneğin, normal büyüklükteki bir papatyada genellikle 13 ya da 21 taç yaprağı vardır. Eğer papatya falına bakmayı seviyorsanız “seviyor” ile başlamanızı tavsiye ederim. Ama elinizdeki daha büyük bir papatya ise muhtemelen 34 yapraklıdır, saymaya “sevmiyor” ile başlamalısınız. Benzer şekilde meyveleri ya da sebzeleri ortadan ikiye böldüğünüzde, birçoğunun içindeki boşlukların sayısının bir Fibonacci sayısı kadar olduğunu görürsünüz.

Göze daha net gözükeni “dal” problemi. Her farklı nesilde kaç tane dal olduğunu sayarsanız birçok bitkide yine aynı sayı dizisi karşınıza çıkar: Birinci yıl 1, ikinci yıl 1, ertesi yıllar 2,3,5,8,13,21,34,.... diye gider.

Daha önce hiç ayçiçeğinin üzerindeki spiralleri saymış mıydınız? Bir ayçiçeğinde saat yönündeki spirallerin sayısı 55, ters yöndekilerin sayısıysa 34 veya 89’dur. Kozalakta bu oran 5’e 8’dir ki bu da iki ardışık Fibonacci sayısıdır. Tütünde de 5 turda 3 yaprak, 8 turda 5 yaprak veren filizler vardır.

2.5. Müzik

Sadece düşüncede var olan olayların nerelerde uygulama alanı bulabileceği hiçbir zaman önceden tahmin edilemez. Çoğu kez utandıkları için soramayan ve bir an gelip de sabırlarının taştığını anlayan öğrenciler “bu ne işe yarar” diye sorarlar. O anda onlara verilebilecek cevabın olması bir, olmaması da bir diğer problemdir. Çünkü matematik kendi alanında bu soruya cevap olsun diye gelişmemektedir. Aksi hâlde iş yoksa matematiğin de durması gerekirdi. Ayrıca bunun ne işe yarayacağını onu ortaya koyan da göremeyebilir. Örneğin, Newton “TÜREV”i keşfeder ama Ay’a seyahatte en önemli araç olduğunu göremeden ölür. Kendisine türevin ne işe yaradığı vaktinde sorulsaydı, “Ay’a seyahatte” cevabını veremezdi.

Gelelim matematik ve müzik ilişkisine: Orta Çağda eğitim programlarında matematik, müzik ve astronomi ile aynı grupta yer alırdı. Matematik ve müzik ilişkisi, günümüzde bilgisayar aracılığı ile devam etmektedir.

Bir müzik parçasında ritimler belirli oranlara göre yapılır (4:4’lük, 3:4’lük, 5:8’lik.... gibi).

Pisagor ve onun düşüncesini taşıyanlar sesin, çekilen telin uzunluğuna bağlı olduğunu fark ederek müzikte armoni ile tam sayılar arasındaki ilişkiyi kurmuşlardır. Uzunlukları tam sayı oranlarında olan gergin tellerin de armonik sesler verdiği görülmüştür. Gerçekten de çekilen tellerin her armonik bileşimi tam sayıların oranı olarak gösterilebilir. Örneğin, do sesini çıkaran bir telin uzunluğunun 16/15 ‘i si sesi verirken, 6/5’i ise la sesi; 4/3’ü sol sesini; 3/2’si fa sesini; 8/5 ‘i mi sesini; 16/9‘u re sesini verir. (Orhan, [WEB], 2001).

Görüldüğü gibi iki notayı bir arada duymak, iki frekansı ya da iki sayıyı ve bu iki sayı arasındaki oranı algılamaktan başka bir şey değildir. Demek ki armoni sorunu, iki sayının oranını seçme sorununa eş değerdir. Bir diğer önemli nokta da insan kulağı için en uyumlu aralığın 8/5 frekans oranındaki majör 6’lı olduğu bilinmektedir. Bu oranın yukarıda bahsettiğimiz altın orana çok yakın bir oran olduğudur. Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır, diyen Leibniz ’in haklılığı ortaya çıkıyor.

Müziğin matematikten farklı tarafı, bazı göz kamaştırıcı tuzaklar kullanarak, insanları büyüleyebilmesidir. Halbuki matematik bunu yapmaz. Russell bunu şöyle özetliyor: “İyi bakıldığı zaman matematik sadece doğruyu değil yüksek bir güzelliği de içerir. Matematik bu güzelliklere bürünmek için insan doğasındaki bazı zayıflıklara başvurmaz, resim ve müziğin göz kamaştırıcı tuzaklarını da kullanmaz.”

Şüphesiz matematiğin de müzik gibi kompozitörleri ve virtüözleri vardır, diyor ünlü matematikçimiz Cahit Arf. Kompozitörler teorileri kuranlar, virtüözler de teorileri gerçek manada anlayarak ifade edebilenler ve hissettirebilenlerdir.

2.6. Fraktallar

Şimdi de bunları bir kenara bırakıp tamamen farklı bir konuya bakalım: altın oran....

Eski Çağlarda ressamlar ve heykeltraşlar ideal insan ölçülerinin nasıl olması gerektiği üzerine kafa yormuşlar. Eski Çağlarda günümüzdeki gibi rastgele yontulmuş heykeller yoktu. Bunun için heykeltraşlar bir ölçü bulmuşlar. İddiaya göre ideal insanın ölçüleri şöyle olmalıymış: Boy uzunluğunun göbekten ayak uçlarına olan uzunluğa oranı, göbekten ayak uçlarına olan uzunluğun göbekten başucuna olan uzunluğa olan oranına eşit. Sembolsüz matematik yapmaya alışık olmayan yirmi birinci yüzyıl okuyucusu için bunu cebirsel olarak yazmak gerekirse: ideal insanın boyu a birim olsun. Göbeğinden ayak ucuna olan uzaklık da b birim olsun. Bu durumda göbeğinden başucuna olan uzaklık da (a-b) birim olacak. İddiaya göre ideal insandaki ölçüler denklemini sağlamalıdır.

Burada, dersek denklemini buluruz. Sanırım bu denklem bize daha tanıdık geldi. Bu denklemin bir kökü;ve x= 1.618033988749............olarak bulunur.

Aralarında Mona Lisa tablosunun da bulunduğu pek çok eserin tuvalin içine bu oran gözetilerek yerleştirildiği iddia edilir. Sessiz sinemanın ünlü yönetmeni Eisenstein, Potemkin Zırhlısı filmindeki dramatik ögelerin altın orana göre yerleştirildiğini söyler...

Burada altın oranla Fibonacci serileri arasında bir bağlantı olduğunu söylemeden geçmeyelim. Bu ilişki;

Klâsik sanatta çok kullanılan bir altın dikdörtgenin özelliği, kenarlarının birbirine oranının içinden bir kare atılarak elde edilen dikdörtgenin kenarlarının oranına eşit olmasıdır. Kalan dikdörtgen de altın dikdörtgen olduğu için ondan da bir kare atılırsa yine bir altın dikdörtgen kalır. Aşağıdaki şekil altın dikdörtgene bir örnektir.

Matematikçiler bunlara benzer binlerce konu üzerinde araştırma yapmışlar ve çok ilginç buluşlar ortaya koymuşlardır. Birbirinden binlerce kilometre ve yüzlerce yıl uzakta yaşamış bu insanlar ortak bir heyecanı taşımışlar ve aynı maceranın kahramanları olmuşlardır. İşte bu binlerce yıldır süren insanlığın ortak macerasının adıdır matematik.

Yazımı, benim çok hoşuma giden şu cümle ile bitirmek istiyorum. Evinin bahçesinde çimlerin üzerine sırt üstü yatmış, bulutlara bakan matematikçiye oğlu pencereden seslenir: “Baba, çok çalıştın, artık içeri gel.” (Sertöz, Matematiğin Aydınlık Dünyası, 1996).


KAYNAKLAR

SERTÖZ, Sinan, “Matematiğin Aydınlık Dünyası” Nurol Matbaacılık, 3. Bs., Ankara, 1996.

HACISALİHOĞLU, H.Milmi, “Geometri Konuşalım”, Ankara, 2001.

ORHAN, Cihan, “Matematik ve Müzik”, Ankara, 2001.

KİNG, P. Jerry, “Matematik Sanatı” Nurol Matbaacılık, Ankara, 1992.


Kaynak: Müzikdersi.com

 

<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HİPERBOLİK UZAY
FOTO MATEMATİK
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARİKATÜR
M.C.Escher galeri
MATEMATİK KİTABI
MATEMATİK FİLMİ