mm arrow Matematik makaleleri arrow MüziÄŸin temelindeki Matematik, MatematiÄŸin içindeki müzik
MüziÄŸin temelindeki Matematik, MatematiÄŸin içindeki müzik Yazdır E-Posta
İçerik İndeksi
Müziğin temelindeki Matematik, Matematiğin içindeki müzik
Muzigin temelindeki matematik
Muzigin matematik egitimine katkısı
Sonuc
Kaynaklar

MÜZİĞİN TEMELÄ°NDEKÄ° MATEMATÄ°K
Tarih boyunca pek çok matematikçi müzikle ilgilenmiÅŸtir. Bazılarımızın aklına 'Acaba pek çok müzisyen de matematikle ilgilenmiÅŸ midir?' gibi bir soru takılabilir. KuÅŸkusuz ilgilenen müzisyenler vardır ancak bir karşılaÅŸtırma yapılırsa matematikçiler çok daha öndedirler. "Müzik, iki bin yıl öncesinde matematiksel bir bilim olarak ele alınmıştır.  Hatta yakın zamanlarda bile Ozanam, Saverien ve Hutton'un matematik sözlüklerinde müzik ile ilgili makaleler vardır. 

Bu yüzden matematikçilerin müzik ile ilgili yazmaları ÅŸaşırtıcı gelmemelidir" (Archibald,1923: 2).  Asıl konumuza dönecek olursak, müzik ve matematik arasındaki iliÅŸkinin incelenmesi eski Yunanlılara kadar uzanır. Eski Yunan' da müzik, matematiÄŸin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiÅŸtir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüÅŸtür. 

Bir telin deÄŸiÅŸik boyları ile deÄŸiÅŸik sesler elde edildiÄŸini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaÅŸamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluÅŸturması açısından oldukça önemli bir iÅŸ yapmıştır.  Konfiçyüs (M.Ö. 551-478) belirli modların insanlar üzerine etkisini incelemiÅŸtir. Platon ( M.Ö. 428/7-348/7) müziÄŸi etiÄŸin bir parçası olarak kabul etmektedir. Platon, karışıklıktan kaçınır ve basitliÄŸi savunur.  Karışıklığın düzensizlik ve depresyona yol açacağını savunur. Platon, insan karakteri ile müzik arasında bir baÄŸlantı bulmuÅŸtur.

Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüÅŸ ve oktavı elde etmiÅŸtir.  Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluÄŸun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuÅŸtur.  Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi "tetrakord" olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktadır.  Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 ile elde edilmiÅŸtir ve ileride deÄŸineceÄŸimiz gibi bu sayılar bize "altın oran" konusunda da oldukça ilginç örtüÅŸmeler sunmaktadır. 

Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir. 

2/3:3/4=8/9  (5T-4T=2M ) 

Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.

Devam edecek olursak;  8/9.8/9=64/81  (2M+2M=3M)

Esas sesimiz "do" olsun.  Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü "sol" sesini, ¾ ü "fa" sesini, 8/9 i ise "re" sesini, 64/81 i ise " mi" sesini vermektedir.

DiÄŸer aralıkları kısaca ÅŸöyle sıralayabiliriz;

3/4:8/9=27/32  4T-2T=3m

2:27/32=16/27  6M

2:64/82=81/128  6m

2: 8/9=9/16 7m

Bu ÅŸekilde gidildiÄŸi zaman; Do, re, mi, fa, sol, la ,si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2  oranları ile ifade edilir. 

Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiÅŸtir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiÄŸinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiÅŸtir ki bu da "Pythagoras koması" olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı deÄŸiÅŸikliklere gerek duyulmuÅŸ ve böylece zaman içinde tampere edilmiÅŸ bir ÅŸekilde 12 eÅŸit yarım tonluk bir sistem geliÅŸtirilmiÅŸtir.  1 tam ton 8/9 ile deÄŸil iki yarım ton ile gösterilmiÅŸtir .

Tampere edilmiÅŸ 5 li,  7 yarım ton ile ifade edilmektedir ve buda, Pythagoras 5 lisinden daha küçük bir aralıktır.  4lü ise,  5 yarım ton ile ifade edilir ve Pythagoras 4 lüsünden daha büyüktür.

Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala Pythagoras aralıklarını tercih ettiÄŸini gösterse de günümüzde kullanılan tampere edilmiÅŸ sistemden vazgeçmek mümkün deÄŸildir (Reid,1995).

Euclid (M.Ö. 300)'in çalışmaları temel olarak Pythagoras'a dayanır, ancak Pythagoras ve Euclid iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan majör  dizideki Maj. 3 'lü ve Maj. 6'lı aralıklarda.  ÖrneÄŸin Do dizisinde Euclid 'in Maj. 3'lüsü 4/5=64/80 iken,   Pythagoras için bu; 64/81=8/9.8/9 dur (Archibald,1923: 10).

Estetik anlayışındaki en eski ve en yerleÅŸik kavram, kökü Sokrates ve öncesi filozoflara uzanan oransal uyumluluk (congruentia) , oran ve sayı kavramlarıdır. (Eco, 1996: 51) . Yunan düÅŸüncesine 'oran' anlayışı büyük önem taşımaktadır.  OrtaçaÄŸ filozoflarından Boethius ta müzik kuramıyla iliÅŸkili olarak bir oransal iliÅŸkiler öÄŸretisi geliÅŸtirerek,oran felsefesini baÅŸlangıçtaki Pythagoasçı biçimi ile OrtaçaÄŸ'a aktarır. (Eco,1996: 53). Aritmetik, geometri ve müzik ile ilgili çalışmaları vardır.  Boethius için müzik matematiksel bir bilimdir.

Müzikte önemli olan bir baÅŸka isim Fibonacci'dir.     Leonardo Fibonacci (1175-1240)  bir Ä°talyan matematikçisidir.   Matematik biliminde önemli çalışmaları olmuÅŸtur. Ancak ençok "tavÅŸan çiftliÄŸi" problemi ile meÅŸhur olmuÅŸtur.  Probleme göre; bir çift tavÅŸan var ve bir ay geçtikten sonra her yeni çift tavÅŸan bir çift tavÅŸan  doÄŸuruyor. Her yeni doÄŸan çift ikinci ay birer çift tavÅŸan doÄŸurur ve bu böylece devam eder. Kaç ay sonra kaç çift tavÅŸan olur.  Sonuçta karşımıza ÅŸu ÅŸekilde bir seri çıkar;

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55,  89,  144,  233,  377,  610,  987...

Seriye bakacak olursak,  son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir.  Burada bizim için önemli olan orandır.  Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır.  0, 61803398......Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeÅŸitli dönemlerde "altın oran"  veya "mükemmel oran" olarak kullanılmıştır.

 

Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüÅŸ bir  [AB] doÄŸru parçası düÅŸünelim.   Tüm doÄŸru parçasının  büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eÅŸitliÄŸi bize altın oranı vermektedir. 

 

Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakord u oluÅŸturan 6,  8,  9,  ve 12 birimlik tellerden bahsetmiÅŸtik.  Åžimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak, 

(12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduÄŸunu görürüz. Bu,  oldukça ilginç bir örtüÅŸmedir.

Müzikte yapılan çeÅŸitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluÅŸturulduÄŸu görülmüÅŸtür.

 

Bella Bartok,  altın oranı kullanan bestecilerdendir. "Bartok, Fibonnacci sayıları ile bir dizi oluÅŸturmuÅŸ ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır" (Aktarma Gönen, 1998: 13).  "Music for strings,  percussion and celeste"  parçasının ilk bölümünde en önemli kısım,  89 ölçünün 55.  ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998).

 

Bu konuda yaygın olarak bilinen bir parça Haendel'in "Hallelujah" eseridir.  Bu eserde toplam 94 ölçü vardır.  En önemli kısımlardan birisi; solo trompetlerin giriÅŸi "Kings of kings", 57.  ve 58.  ölçülerde baÅŸlamaktadır.  Yani 94 ölçünün 8/13 inde.   94.  8/13=~58.  Ä°lk 57 ölçünün 8/13 inde ise (ki bu da 34.  ölçüdür) "The Kingdom of Glory..."teması baÅŸlamaktadır.  Ä°kinci 37.  ölçüsünün 8/13 ünde ise (yani 79. ölçüde) "And he shall reign.... " tekrar solo trompetlerin görüldüÄŸü önemli bir bölüm gelmektedir.  Haendel'in bu kompozisyonu yazarken ne düÅŸündüÄŸünü bilmiyoruz ama en azından bu örnek,  müzikte altın oranın kullanılabileceÄŸini bize göstermektedir  (Beer, 1998:8).

 

Mozart'ında altın oranı kullanıp kullanmadığına dair çeÅŸitli görüÅŸler vardır. John F.Putz'a göre  Mozart'ın eserleri bir dahi iÅŸidir ve sayılarla oynamayı seven birisinin iÅŸidir. O'na göre Mozart altın oranı biliyordu ve eserlerinde kullanmıştır (May, 1996). 

 

19. yy.  da J. Fourier,  müzikal serinin niteliÄŸini incelemiÅŸtir. "Fourier,  müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadeler ile tanımlanabileceÄŸini ve bununda periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceÄŸini ispatlamıştır."(Matematik Dünyası, 1995:7) Ünlü Matematikçi Leibniz,  "Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir" demiÅŸtir. 

 

Euler, seslerin düzgün salınımı prensibine dayanan tampere sistemi temel olarak yanlış bulmakta ve yetenekli icracı için tercih edilemez olduÄŸu görüÅŸünü savunmaktadır.  Bu doÄŸrultuda yeni bir ses sistemi geliÅŸtirmiÅŸtir.  Ancak Euler sistemi müzisyenlere fazla matematiksel, matematikçilere ise fazla müzikal gelmiÅŸtir.  Euler yerine koyma adı verilen bu teoriyi, sesi algılayan kiÅŸinin fiziksel koÅŸullara göre algılaması gerektiÄŸinden farklı olarak neleri algıladığı ve hangi etkilere maruz kaldığı sorularına yanıt ararken geliÅŸtirmiÅŸtir. Bu bir tür "deneme teorisi" dir. ( Gönen, 1998:13)



<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HÄ°PERBOLÄ°K UZAY
FOTO MATEMATÄ°K
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARÄ°KATÃœR
M.C.Escher galeri
MATEMATÄ°K KÄ°TABI
MATEMATÄ°K FÄ°LMÄ°