header image
Matematik FotoÄŸrafları arrow Gizem (Gödel'in Eksiklik Teoremi)
Gizem (Gödel'in Eksiklik Teoremi) Yazdır E-Posta

Image

Gödel'in eksiklik teoremi

EÄŸer Gödel'in eksiklik teorisi ile ilgili okuduÄŸunuz herÅŸeye inandıysanız, teorinin hayatın, kainatın ve herÅŸeyin anlamını açıkladığına inanmanız beklenebilir.Bazı görüÅŸlere göre, bu teori insan zekasını, hür iradenin tabiatını ve evren hakkında bilebileceÄŸimiz herÅŸeyi açıklamaktadır.

Daha fazla reklam yapmaya gerek yok çünkü matematikçilerin büyük çoÄŸunluÄŸu Gödel'in eksiklik teorisinin matematikteki en önemli ilerlemelerden biri olduÄŸu üzerinde hemfikirdirler. Ayrıca matematikteki en ilginç ve rahatsız edici teorilerden biri olarak da anılmaktadır.

19.yy sonlarında matematikçilerin büyük kısmında yeni bir matematik çeÅŸidi ile evrenin bize sunacağı bütün problemleri çözmemizin  mümkün olabileceÄŸi inancı yerleÅŸmekteydi. 1920'de Alman matematikçi David Hilbert bütün matematiksel bilgilerin toplanacağı bilimsel bir araÅŸtırma teklifini getirdi. Bu araÅŸtırmayla matematik lisanının kusursuzluÄŸunu ve kendi içinde tutarlılığını göstemeyi hedefliyordu.

Hilbert'in hatalıydı. Ve onun hatalı olduğunu ispatlayan Kurt Godel oldu.

Bunu kısaca ÅŸu ÅŸekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı ÅŸekilde G ifadenin deÄŸilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doÄŸruluÄŸu hesaplanabilirse, G ifadesinin deÄŸilinin de doÄŸruluÄŸunun hesaplanabileceÄŸini gösterdi. Ve Gödel buradan ÅŸu iki sonuca varmıştır:

  1. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı (consistent) ise eksiksiz (complete) deÄŸildir.
  2. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve iÅŸlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün deÄŸildir.

Ä°ÅŸin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleÅŸtirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doÄŸruluÄŸu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.

 

Gödel'in eksiklik teorisinin insan beyni için uyguladığımızda ilginç sonuçlara ulaşırız. EÄŸer beyinlerimiz tutarlı bir ÅŸekilde çalışan makinelerse, acaba mümküm müdür ki bazı gerçekler var olsun ama ispalamak mümkün olmasın? Cevabı henüz bilinmiyor

Kaynak: JustinMullins.com'dan tercüme  

Vikipedi Gödel'in Eksiklik Teoremi  

<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HÄ°PERBOLÄ°K UZAY
FOTO MATEMATÄ°K
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARÄ°KATÃœR
M.C.Escher galeri
MATEMATÄ°K KÄ°TABI
MATEMATÄ°K FÄ°LMÄ°