mm arrow Matematik makaleleri arrow Hayat ve aksiyomları
Hayat ve aksiyomları Yazdır E-Posta
İçerik İndeksi
Hayat ve aksiyomları
Sayfa 2
Sayfa 3
 

Bir dilde sonsuz sayıda kelimenin bulunması imkânsızdır. Bir tanım yapmak için peş peşe gelen soruların cevabını ararken, sonlu sayıda olan bütün kelimeler tükendiğinde ne olacak? Günlük hayatta böyle peş peşe gelen sorularla karşılaştığımızda, "Ee, bunu da bil artık!" deyip bir yerde tanımlamayı keseriz. Yani gelinen son noktada, doğruluğunu ve ne olduğunu sorgulamadan bu kavramın herkes tarafından bilinmesini isteriz.

Matematikte de doğruluğu sorgulanmadan kabul edilen bazı gerçekler vardır ve bunlara "aksiyom" adı verilir. Matematiğe katkıda bulunmak, hayret uyandıracak sonuçlara götürecek tarif ve aksiyomları düzenleyebilme kabiliyetine bağlıdır. Matematikte doğru bir hükmü bildiren ifadelere "teorem" denir. Tabii ki ilk önce bu ifadenin teorem olduğu bilinmemektedir. Tanım ve aksiyomlar kullanılarak bulunan bütün sonuçlar teoremdir. Doğru veya yanlış bir hüküm bildiren ifadelere "önerme" denir. Bu duruma göre teoremler doğru olan önermelerdir.

Teoremi ve önermeyi tanımladıktan sonra, aslında teoremin "doğru bir hüküm bildiren önerme" olduğunu elde ettik; p ve q belli bir takım önermelerin teşkil ettiği topluluklar olsun. Teoremler genellikle p doğru olduğunda q'nun da doğru olduğu biçimindedir ve bu kısaca p=>q biçiminde gösterilir. Biraz matematiğin önermeler konusunu bilenler p=>q'nun doğru olmasının sadece p'nin doğru olması durumunda değil, p'nin yanlış olması durumunda da mümkün olduğunu bilirler.

Fakat teoremlerdeki p=>q gösterimi sadece p doğru olduğunda q'nun da doğru olduğunun gösterileceği anlamındadır. Meselâ p önerme topluluğu p1, p2,...pn ve q önerme topluluğu q1, q2,...qm önermelerinden meydana geliyorsa, p=>q önermesi p1, p2,...pn önermeleri doğru iken, q1, q2,...qm önermelerinin de doğru olduğunu ifade eder. Bir teoremin doğru olduğunun gösterilmesine teoremi ispat etme denir. Teorem ispatlanırken matematik zekâsı ön plâna çıkar. p1, p2,...pn önermeleri ve daha önce verilen tanım ve aksiyomlar harmanlanarak q1, q2...qm önermeleri elde edilmeye çalışılır. p'yi doğru olarak kabul edip q'nun doğru olduğunu göstermede takip edilecek yol, yani teoremi ispatlamanın yolu, tek değildir. Hattâ iki farklı kişinin p'den q'yu elde ederken kullanacağı tanım ve aksiyomlar baştan sona farklı olabilir. Bu bir bakıma p noktasından q nok-tasına gitmenin bir benzeridir.

Yukarıdaki şekilde p'den q'ya iki farklı yoldan gidilmiştir. Birinci yolda p doğruyken a1'in doğru olduğu, a1 doğruyken a2'nin doğru olduğu, a2 doğruyken a3'ün doğru olduğu, a3 doğru iken a4'ün doğru olduğu ve a4 doğru iken q'nun doğru olduğu gösterilmiş ve böylece p doğru iken q'nun da doğru olduğu elde edilmiştir. İkinci yolda p doğruyken b1'in doğru olduğu, b1 doğruyken b2'nin doğru olduğu ve b2 doğruyken q'nun doğru olduğu gösterilerek p doğru iken q'nun da doğru olduğu bulunmuştur.

Burada hangi yolun teoremin ispatı için daha iyi olduğunu tartışmak anlamsızdır. "Her yiğidin bir yoğurt yiyişi vardır." atasözü bu durumu açıklar. Kimine göre çok kısa olan bir yol başka birine göre çok uzun gelebilir. p'den bl elde edilirken kullanılan sonuçlar bilinmiyorsa, p=>b1 önermelerinin doğru olduğunu göstermek gerekir. Bu durum benzer biçimde diğer adımlara da aksedeceğinden birinci yolu iyi bilen birisi için ikinci yol daha da uzun olabilir.

Matematikte tanımlar kesindir ve doğrulukları tartışılmaz, aksiyomların da doğruluğu tartışılmaz ve kabul edilir. O zaman tanım ve aksiyomları, doğruluğu tartışılmadan kabul edilen ifadeler olarak ele alırsak, matematiğin kaynağını kurmuş oluruz. Matematik, doğruluğu kabul edilen birtakım ifadelerden bulunabilecek bütün doğru ifadeleri bulmak için çalışır, yani bütün teoremlerin bulunması, matematiğin ve matematikçinin işidir. Bu anlamda matematik hem mücerret hem de müşahhas olarak yapılabilir. Meselâ; A1 ,A2 ,... Ak gibi k tane aksiyom ve bunları doğru kabul edip bunlar yardımıyla bulunabilecek bütün doğruları araştırmaya başlarsınız.



<Önceki   Sonraki>
MATEMATİKÇİ PULU
HİPERBOLİK UZAY
FOTO MATEMATİK
C.Sequin Galeri
MATEMATİK AFİŞİ
G.W.Hart galeri
KARİKATÜR
M.C.Escher galeri
MATEMATİK KİTABI
MATEMATİK FİLMİ