Bir dilde sonsuz sayıda kelimenin bulunması imkânsızdır. Bir tanım yapmak için peÅŸ peÅŸe gelen soruların cevabını ararken, sonlu sayıda olan bütün kelimeler tükendiÄŸinde ne olacak? Günlük hayatta böyle peÅŸ peÅŸe gelen sorularla karşılaÅŸtığımızda, "Ee, bunu da bil artık!" deyip bir yerde tanımlamayı keseriz. Yani gelinen son noktada, doÄŸruluÄŸunu ve ne olduÄŸunu sorgulamadan bu kavramın herkes tarafından bilinmesini isteriz.

Matematikte de doÄŸruluÄŸu sorgulanmadan kabul edilen bazı gerçekler vardır ve bunlara "aksiyom" adı verilir. MatematiÄŸe katkıda bulunmak, hayret uyandıracak sonuçlara götürecek tarif ve aksiyomları düzenleyebilme kabiliyetine baÄŸlıdır. Matematikte doÄŸru bir hükmü bildiren ifadelere "teorem" denir. Tabii ki ilk önce bu ifadenin teorem olduÄŸu bilinmemektedir. Tanım ve aksiyomlar kullanılarak bulunan bütün sonuçlar teoremdir. DoÄŸru veya yanlış bir hüküm bildiren ifadelere "önerme" denir. Bu duruma göre teoremler doÄŸru olan önermelerdir.

Teoremi ve önermeyi tanımladıktan sonra, aslında teoremin "doÄŸru bir hüküm bildiren önerme" olduÄŸunu elde ettik; p ve q belli bir takım önermelerin teÅŸkil ettiÄŸi topluluklar olsun. Teoremler genellikle p doÄŸru olduÄŸunda q'nun da doÄŸru olduÄŸu biçimindedir ve bu kısaca p=>q biçiminde gösterilir. Biraz matematiÄŸin önermeler konusunu bilenler p=>q'nun doÄŸru olmasının sadece p'nin doÄŸru olması durumunda deÄŸil, p'nin yanlış olması durumunda da mümkün olduÄŸunu bilirler.

Fakat teoremlerdeki p=>q gösterimi sadece p doÄŸru olduÄŸunda q'nun da doÄŸru olduÄŸunun gösterileceÄŸi anlamındadır. Meselâ p önerme topluluÄŸu p1, p2,...pn ve q önerme topluluÄŸu q1, q2,...qm önermelerinden meydana geliyorsa, p=>q önermesi p1, p2,...pn önermeleri doÄŸru iken, q1, q2,...qm önermelerinin de doÄŸru olduÄŸunu ifade eder. Bir teoremin doÄŸru olduÄŸunun gösterilmesine teoremi ispat etme denir. Teorem ispatlanırken matematik zekâsı ön plâna çıkar. p1, p2,...pn önermeleri ve daha önce verilen tanım ve aksiyomlar harmanlanarak q1, q2...qm önermeleri elde edilmeye çalışılır. p'yi doÄŸru olarak kabul edip q'nun doÄŸru olduÄŸunu göstermede takip edilecek yol, yani teoremi ispatlamanın yolu, tek deÄŸildir. Hattâ iki farklı kiÅŸinin p'den q'yu elde ederken kullanacağı tanım ve aksiyomlar baÅŸtan sona farklı olabilir. Bu bir bakıma p noktasından q nok-tasına gitmenin bir benzeridir.

Yukarıdaki ÅŸekilde p'den q'ya iki farklı yoldan gidilmiÅŸtir. Birinci yolda p doÄŸruyken a1'in doÄŸru olduÄŸu, a1 doÄŸruyken a2'nin doÄŸru olduÄŸu, a2 doÄŸruyken a3'ün doÄŸru olduÄŸu, a3 doÄŸru iken a4'ün doÄŸru olduÄŸu ve a4 doÄŸru iken q'nun doÄŸru olduÄŸu gösterilmiÅŸ ve böylece p doÄŸru iken q'nun da doÄŸru olduÄŸu elde edilmiÅŸtir. Ä°kinci yolda p doÄŸruyken b1'in doÄŸru olduÄŸu, b1 doÄŸruyken b2'nin doÄŸru olduÄŸu ve b2 doÄŸruyken q'nun doÄŸru olduÄŸu gösterilerek p doÄŸru iken q'nun da doÄŸru olduÄŸu bulunmuÅŸtur.

Burada hangi yolun teoremin ispatı için daha iyi olduÄŸunu tartışmak anlamsızdır. "Her yiÄŸidin bir yoÄŸurt yiyiÅŸi vardır." atasözü bu durumu açıklar. Kimine göre çok kısa olan bir yol baÅŸka birine göre çok uzun gelebilir. p'den bl elde edilirken kullanılan sonuçlar bilinmiyorsa, p=>b1 önermelerinin doÄŸru olduÄŸunu göstermek gerekir. Bu durum benzer biçimde diÄŸer adımlara da aksedeceÄŸinden birinci yolu iyi bilen birisi için ikinci yol daha da uzun olabilir.

Matematikte tanımlar kesindir ve doÄŸrulukları tartışılmaz, aksiyomların da doÄŸruluÄŸu tartışılmaz ve kabul edilir. O zaman tanım ve aksiyomları, doÄŸruluÄŸu tartışılmadan kabul edilen ifadeler olarak ele alırsak, matematiÄŸin kaynağını kurmuÅŸ oluruz. Matematik, doÄŸruluÄŸu kabul edilen birtakım ifadelerden bulunabilecek bütün doÄŸru ifadeleri bulmak için çalışır, yani bütün teoremlerin bulunması, matematiÄŸin ve matematikçinin iÅŸidir. Bu anlamda matematik hem mücerret hem de müÅŸahhas olarak yapılabilir. Meselâ; A1 ,A2 ,... Ak gibi k tane aksiyom ve bunları doÄŸru kabul edip bunlar yardımıyla bulunabilecek bütün doÄŸruları araÅŸtırmaya baÅŸlarsınız.